《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

1. 用公式法解方程$x^2 - 2 = -3x$时,a,b,c的值依次是(B)
A.0,-2,-3
B.1,3,-2
C.1,-3,-2
D.1,-2,-3

答案： 解：将方程$x^2 - 2 = -3x$化为一般形式$x^2 + 3x - 2 = 0$，可得$a=1$，$b=3$，$c=-2$。
B

2. 下列一元二次方程中,不能直接用公式法进行求解的是(D)
A.$x^2 - 2x = 0$
B.$x^2 - 1 = 0$
C.$x^2 - 2x + 1 = 0$
D.$x^2 - 2x + 3 = 0$

答案： D

3. 用公式法解方程$3x^2 + 5x + 1 = 0$,下面结果正确的是(A)
A.$x = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{6}$
B.$x = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{3}$
C.$x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{6}$
D.$x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{3}$

答案： A

4. 关于x的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)的两根分别是x_1 = \frac{4 + \sqrt{(-4)^2 - 4 × 3}}{2}$,$x_2 = \frac{4 - \sqrt{(-4)^2 - 4 × 3}}{2}$,那么$a = \underline{A}$。

答案： A

5. 用公式法解关于x的一元二次方程,得$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 × 4 × 1}}{2 × 4}$,则该一元二次方程是$\underline{$4x^2 + 6x + 1 = 0$}$。

答案： 解：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$，其求根公式为$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
已知$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4×4×1}}{2×4}$，对比求根公式可得：$-b = -6$，$2a = 8$，$4ac = 16$。
由$-b = -6$，得$b = 6$；由$2a = 8$，得$a = 4$；将$a = 4$代入$4ac = 16$，得$4×4×c = 16$，解得$c = 1$。
所以该一元二次方程是$4x^2 + 6x + 1 = 0$。
$4x^2 + 6x + 1 = 0$

6. 用公式法解方程：
(1)$x^2 - 5x + 2 = 0$；
(2)$\sqrt{2}x - 2 = 2x^2$；
(3)$(x + 1)^2 - (x + 1) - 1 = 0$；
(4)$x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 0$。

答案：
(1)解：$a=1$，$b=-5$，$c=2$
$\Delta =b^2 - 4ac=(-5)^2 - 4×1×2=25 - 8=17＞0$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2}$
$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$
(2)解：整理得$2x^2 - \sqrt{2}x + 2=0$
$a=2$，$b=-\sqrt{2}$，$c=2$
$\Delta =b^2 - 4ac=(-\sqrt{2})^2 - 4×2×2=2 - 16=-14＜0$
$\therefore$原方程无实数根
(3)解：整理得$x^2 + x - 1=0$
$a=1$，$b=1$，$c=-1$
$\Delta =b^2 - 4ac=1^2 - 4×1×(-1)=1 + 4=5＞0$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
$\therefore x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
(4)解：$a=1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=2$
$\Delta =b^2 - 4ac=(-2\sqrt{2})^2 - 4×1×2=8 - 8=0$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\sqrt{2}\pm0}{2}=\sqrt{2}$
$\therefore x_1=x_2=\sqrt{2}$

7. 按照以下给出的思路和步骤填空,补全关于x的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$的求根公式的推导。
解：由$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$,
得$x^2 +$$\frac{b}{a}x + \frac{c}{a}$$= 0$,
移项,得$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$,
配方,得$x^2 + 2 \cdot x \cdot$$\frac{b}{2a}$$+ \frac{b^2}{4a^2} = $$-\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}$,
即$(x + \frac{b}{2a})^2 = $$\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$,
因为$a \neq 0$,所以$4a^2 ＞ 0$,当$b^2 - 4ac \geq 0$时,
直接开平方,得$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$,
即$x = $$\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
由以上研究的结果,得到了一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$的求根公式：$x = $$\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。

答案： 解：由$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$，
得$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$，
移项，得$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$，
配方，得$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}$，
即$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$，
因为$a \neq 0$，所以$4a^2 ＞ 0$，当$b^2 - 4ac \geq 0$时，
直接开平方，得$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，
即$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
由以上研究的结果，得到了一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$的求根公式：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。