《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

4. 阅读下面材料,然后解答问题.
解方程：$(x^2 - 6)^2 - (x^2 - 6) - 2 = 0$.
分析：本题实际上是一元四次方程.若展开按常规解答,对于同学们来说还是有一定的挑战性.
解高次方程的基本方法是“降次”,可以发现本方程是以$x^2 - 6$为基本结构搭建的,所以我们可以把$x^2 - 6$视为一个整体,设为另外一个未知数,可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答,我们把这种换元解方程的方法叫做换元法.
解：设$x^2 - 6 = m$,则原方程换元为
$m^2 - m - 2 = 0$,①
$(m - 2)(m + 1) = 0$,
解得$m_1 = 2$,$m_2 = -1$,
∴$x^2 - 6 = 2或x^2 - 6 = -1$,
解得$x_1 = 2\sqrt{2}$,$x_2 = -2\sqrt{2}$,$x_3 = \sqrt{5}$,$x_4 = -\sqrt{5}$.
(1)填空：在原方程得到方程①的过程中,利用换元法达到降次的目的,体现了______转化的数学思想.
(2)利用换元法解方程：$(x^2 - 2x)^2 - 2x^2 + 4x - 3 = 0$.
(3)已知$(a^2 + b^2)^2 - (a^2 + b^2) - 2 = 0$,求$a^2 + b^2$的值.

答案：
(1)换元；转化
(2)解：设$x^2 - 2x = m$，则原方程可化为$m^2 - 2m - 3 = 0$，$(m - 3)(m + 1) = 0$，解得$m_1 = 3$，$m_2 = -1$。
当$m = 3$时，$x^2 - 2x = 3$，$x^2 - 2x - 3 = 0$，$(x - 3)(x + 1) = 0$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = -1$。
当$m = -1$时，$x^2 - 2x = -1$，$x^2 - 2x + 1 = 0$，$(x - 1)^2 = 0$，解得$x_3 = x_4 = 1$。
所以原方程的解为$x_1 = 3$，$x_2 = -1$，$x_3 = x_4 = 1$。
(3)解：设$a^2 + b^2 = n$，则原方程可化为$n^2 - n - 2 = 0$，$(n - 2)(n + 1) = 0$，解得$n_1 = 2$，$n_2 = -1$。
因为$a^2 + b^2 \geq 0$，所以$n = -1$舍去，故$a^2 + b^2 = 2$。

5. 先阅读理解下面的例题,再按要求完成问题.
例题：解一元二次不等式$x^2 - 9 ＞ 0$.
解：把$x^2 - 9$分解因式,得
$(x + 3)(x - 3) ＞ 0$,
由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”,得
(1)$\left\{\begin{array}{l} x + 3 ＞ 0, \\ x - 3 ＞ 0 \end{array} \right.$或(2)$\left\{\begin{array}{l} x + 3 ＜ 0, \\ x - 3 ＜ 0 \end{array} \right.$,
解不等式组(1),得$x ＞ 3$,
解不等式组(2),得$x ＜ -3$,
∴$x^2 - 9 ＞ 0的解集为x ＞ 3和x ＜ -3$.
根据上面的解法,求不等式$(x + 1)(x - 1) ＜ 0$的解集.

答案： 本题答案不涉及ABCD选项，解集为$-1 ＜ x ＜ 1$。

6. 小伟课余时间非常喜欢研究数学,在一次课外阅读中遇到一个解一元二次不等式的问题：解不等式$x^2 - 2x - 3 ＞ 0$.
经过思考,他给出了下列解法.
解：左边因式分解,得$(x + 1)(x - 3) ＞ 0$,
$\left\{\begin{array}{l} x + 1 ＞ 0, \\ x - 3 ＞ 0 \end{array} \right.或\left\{\begin{array}{l} x + 1 ＜ 0, \\ x - 3 ＜ 0 \end{array} \right.$,
解得$x ＞ 3或x ＜ -1$.
请根据上述思想求一元二次不等式$(x - 1)(x - 2)(x - 3) ＞ 0$的解集.

答案： 解：令$(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0$，得$x=1$，$x=2$，$x=3$。
将实数轴分为四部分：$x ＜ 1$，$1 ＜ x ＜ 2$，$2 ＜ x ＜ 3$，$x ＞ 3$。
情况一：当$x ＜ 1$时，$x - 1 ＜ 0$，$x - 2 ＜ 0$，$x - 3 ＜ 0$，三负相乘得负，不满足$(x - 1)(x - 2)(x - 3) ＞ 0$。
情况二：当$1 ＜ x ＜ 2$时，$x - 1 ＞ 0$，$x - 2 ＜ 0$，$x - 3 ＜ 0$，一正两负相乘得正，满足不等式。
情况三：当$2 ＜ x ＜ 3$时，$x - 1 ＞ 0$，$x - 2 ＞ 0$，$x - 3 ＜ 0$，两正一负相乘得负，不满足不等式。
情况四：当$x ＞ 3$时，$x - 1 ＞ 0$，$x - 2 ＞ 0$，$x - 3 ＞ 0$，三正相乘得正，满足不等式。
综上，不等式的解集为$1 ＜ x ＜ 2$或$x ＞ 3$。