《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

1. 如图,在△ABC中,$\angle ABC= 90^\circ$,BD是斜边AC上的高.求证:$BD^{2}= AD\cdot CD$.

答案： 证明：
∵在△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，
∴∠ADB=∠BDC=90°，∠A+∠ABD=90°，∠C+∠CBD=90°．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠A=∠CBD，∠C=∠ABD．
∴△ADB∽△BDC（两角分别相等的两个三角形相似）．
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{CD}$，
∴$BD^{2}=AD\cdot CD$．

2. 如图,在△ABC中,$\angle ABC= 90^\circ$,BD是斜边AC上的高.求证:$AB^{2}= AC\cdot AD$,$BC^{2}= CD\cdot AC$.

答案： 证明：
∵∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，
∴∠ADB=∠ABC=90°，
又
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB（AA），
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$，
∴$AB^2=AC\cdot AD$；
同理，∠CDB=∠ABC=90°，∠C=∠C，
∴△CBD∽△CAB（AA），
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$，
∴$BC^2=CD\cdot AC$。

3. 如图,在Rt△ABC中,$\angle ACB= 90°$,$CD\perp AB$于点D,则下列结论错误的是(A)

A.$CD\cdot AC= AB\cdot BC$
B.$AC^{2}= AD\cdot AB$
C.$BC^{2}= BD\cdot AB$
D.$AC\cdot BC= AB\cdot CD$

答案： A

4. 如图,在Rt△ABC中,$\angle BAC= 90°$,$AD\perp BC$于点D,若AB= 4,AC= 3,则BD的长为(B)

A.1.8
B.3.2
C.2.4
D.5

答案： B

5. 如图,在Rt△ABC中,$\angle ACB= 90°$,$CD\perp AB$,D为垂足,且BC∶AC= 2∶3,那么BD∶AD= $\underline{\quad\quad}$.


4:9

答案： $ 4:9 $

6. 如图,在锐角△ABC中,$BD\perp AC$于点D,$DE\perp BC$于点E,AB= 14,AD= 4,BE∶EC= 9∶2,则CD= $\underline{$2\sqrt{10}$}$.

答案： 解：设 $ BE = 9k $，$ EC = 2k $，则 $ BC = 11k $。
在 $ Rt\triangle ABD $ 中，$ BD^2 = AB^2 - AD^2 = 14^2 - 4^2 = 196 - 16 = 180 $。
在 $ Rt\triangle BDC $ 中，由射影定理得 $ BD^2 = BE \cdot BC $，即 $ 180 = 9k \cdot 11k $，$ 99k^2 = 180 $，$ k^2 = \frac{180}{99} = \frac{20}{11} $。
又由射影定理得 $ CD^2 = EC \cdot BC = 2k \cdot 11k = 22k^2 $，将 $ k^2 = \frac{20}{11} $ 代入，得 $ CD^2 = 22 × \frac{20}{11} = 40 $，故 $ CD = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} $（负值舍去）。
$ 2\sqrt{10} $

7. ▶中考热点·数形结合 两个任意大小的正方形,都可以适当剪开,拼成一个较大的正方形.如图,将两个边长分别为a,b的正方形拼成一个大正方形.图中Rt△ABC的斜边AB的长为 $\underline{$\sqrt{a^2 + b^2}$}$.(用含a,b的代数式表示)
视频讲解

答案： 解：由题意可知，两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，大正方形的面积为$a^2 + b^2$，则大正方形的边长为$\sqrt{a^2 + b^2}$。
观察图形，Rt△ABC的斜边AB应为拼成的大正方形的边长，所以$AB = \sqrt{a^2 + b^2}$。
$\sqrt{a^2 + b^2}$