《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

1. 已知△ABC和$△A_1B_1C_1$相似,相似比为1∶2,则△ABC与$△A_1B_1C_1$的周长之比为(A)
A.1∶2
B.2∶1
C.1∶4
D.4∶1

答案： A

2. 如果将一个△ABC的三边长都扩大为原来的3倍,那么新三角形的面积(B)
A.扩大为原来的3倍
B.扩大为原来的9倍
C.没有变化
D.无法确定

答案： B

3. 两个相似三角形的面积比为9∶16,其中较大的三角形的周长为64 cm,则较小的三角形的周长为48cm.

答案： 解：
∵两个相似三角形的面积比为9∶16，
∴两个相似三角形的相似比为$\sqrt{9}:\sqrt{16}=3:4$，
∴两个相似三角形的周长比为3:4。
设较小的三角形的周长为$x$cm，
∵较大的三角形的周长为64cm，
∴$\frac{x}{64}=\frac{3}{4}$，
解得$x=48$。
故答案为48。

4. 如图,AB与CD交于点O,且AC//BD. 若$\frac{OA+OC+AC}{OB+OD+BD}= \frac{1}{2},$则$\frac{AC}{BD}= $$\frac{1}{2}$.

答案： 解：
∵AC//BD
∴∠A=∠B，∠C=∠D
∴△AOC∽△BOD
设相似比为k，则$\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}=\frac{AC}{BD}=k$
∴OA=k·OB，OC=k·OD，AC=k·BD
∵$\frac{OA+OC+AC}{OB+OD+BD}=\frac{1}{2}$
∴$\frac{k·OB + k·OD + k·BD}{OB + OD + BD}=\frac{1}{2}$
即$k·\frac{OB + OD + BD}{OB + OD + BD}=\frac{1}{2}$
∴k=$\frac{1}{2}$
即$\frac{AC}{BD}=\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$

5. 如图,若方格纸中每个小正方形的边长均为1,则阴影部分的面积为9.

答案： 9

6. 如图所示,点D,E分别在AB,AC上,连接DE,若△ADE∽△ABC,且△ADE和△ABC的相似比是1∶2,若△ADE的面积是1,求四边形DBCE的面积.

答案： 3

7. 如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABO∽△CDO,且$S_{△OCD}= 4S_{△OAB},$若点A(4,6),则点C的坐标为(C$)A. (1,\frac{3}{2})B. (2,3)C. (8,12)D. (16,24)$

答案： C

8. 如图,在矩形ABCD中,$AB= 2\sqrt{3},$AD= 10,直角尺的直角顶点P在AD上滑动时(点P与A,D不重合),一直角边经过点C,另一直角边与直线AB交于点E,当△DPC的周长等于△AEP周长的2倍,则DP的长为10-√3.

答案： 解：设DP=x，则AP=AD-DP=10-x。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，CD=AB=2√3。
∵∠EPC=90°，
∴∠APE+∠DPC=90°。
∵∠AEP+∠APE=90°，
∴∠AEP=∠DPC。
∴△AEP∽△DPC。
∵△DPC的周长等于△AEP周长的2倍，
∴相似比为2，即CD/AP=DP/AE=PC/EP=2。
∴CD/AP=2，即2√3/(10-x)=2。
解得x=10-√3。
经检验，x=10-√3是原方程的解，且符合题意。
故DP的长为10-√3。

9. 已知：如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,S_{△AOD}= S_{△BOC}.
(1)求证：$\frac{DO}{OB}= \frac{CO}{OA}.(2)$设△OAB的面积为S,$\frac{CD}{AB}= k,$求证：$S_{四边形ABCD}= (k+1)^2S.$

答案：
(1)证明：设△AOD中OD边上的高为h₁，△BOC中OB边上的高为h₂。
∵S_{△AOD}=S_{△BOC}，
∴(1/2)·DO·h₁=(1/2)·BO·h₂，即DO·h₁=BO·h₂。
△AOB和△AOD同高（以A为顶点，BD边上的高），设为h₃，
则S_{△AOB}/S_{△AOD}=( (1/2)·OB·h₃ ) / ( (1/2)·OD·h₃ )=OB/OD。
同理，△AOB和△BOC同高（以B为顶点，AC边上的高），S_{△AOB}/S_{△BOC}=OA/OC。
∵S_{△AOD}=S_{△BOC}，
∴OB/OD=OA/OC，即DO/OB=CO/OA。
(2)证明：由
(1)知DO/OB=CO/OA，∠DOC=∠BOA，
∴△DOC∽△BOA。
∵CD/AB=k，
∴S_{△DOC}/S_{△AOB}=k²，即S_{△DOC}=k²S。
由
(1)知S_{△AOD}=S_{△BOC}，设S_{△AOD}=S_{△BOC}=x。
S_{△AOD}/S_{△AOB}=OD/OB=k（△AOD与△AOB高相同，面积比等于底之比OD/OB=k），
∴x/S=k，即x=kS。
S_{四边形ABCD}=S_{△AOB}+S_{△BOC}+S_{△DOC}+S_{△AOD}=S+kS+k²S+kS=S(k²+2k+1)=(k+1)²S。