《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

9. 中考热点•创新题型 如图1,将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展平纸片；如图2,再次折叠该三角形纸片,使得点A与点D重合,折痕为EF,再次展平后连接DE,DF. 解决下列问题：


(1)四边形AEDF的形状是菱形；
(2)当∠BAC= 60°时,$\frac{AD}{EF}$=$\sqrt{3}$.

答案：
(1)菱形
(2)$\sqrt{3}$

10. 一张长方形纸ABCD,将点B翻折到对角线AC上的点M处,折痕CE交AB于点E. 将点D翻折到对角线AC上的点H处,折痕AF交DC于点F,折叠出四边形AECF.
(1)求证：AF//CE.
(2)30当∠BAC= ______度时,四边形AECF是菱形？说明理由.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB//CD，∠B=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，∠BAC=∠DCA。
由折叠性质得：∠BCE=∠MCE，∠DAF=∠HAF。
∵∠BAC=∠DCA，∠EAC=∠BAC，∠FAC=∠DCA，
∴∠EAC=∠FAC。
∵AB//CD，
∴∠AEC+∠ECF=180°，∠AFC+∠EAF=180°。
又
∵∠EAC=∠FAC，∠AEC=∠AFC（等角的补角相等），
∴AF//CE。
(2)30
理由：
∵∠BAC=30°，∠B=90°，
∴∠ACB=60°。
由折叠得∠BCE=∠ACE=30°，
∴∠AEC=180°-∠BAC-∠ACE=120°。
同理∠AFC=120°。
∵AF//CE，
∴∠EAF=60°，∠ECF=60°。
∴四边形AECF是平行四边形。
∵∠BAC=30°，∠ACE=30°，
∴AE=CE。
∴平行四边形AECF是菱形。

11. 如图,在平行四边形ABCD中,CE平分∠BCD,交AB边于点E,EF//BC,交CD于点F,点G是BC边的中点,连接GF,且∠1= ∠2,CE与GF交于点M,过点M作MH⊥CD于点H.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CH= 1,求BC的长；
(3)求证：EM= FG+MH.

答案： 1. （1）**证明四边形$BCFE$是菱形**：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，又$EF// BC$，所以四边形$BCFE$是平行四边形。
因为$CE$平分$\angle BCD$，所以$\angle BCE=\angle ECD$。
由于$AB// CD$，则$\angle BEC = \angle ECD$，所以$\angle BCE=\angle BEC$。
所以$BC = BE$。
因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以平行四边形$BCFE$是菱形。
2. （2）**求$BC$的长**：
解：因为四边形$BCFE$是菱形，所以$CE\perp BF$，$BM = FM$，$CF = BC$。
因为$MH\perp CD$，$G$是$BC$中点，$\angle1=\angle2$，所以$CM$平分$\angle FCD$。
又因为$MH\perp CD$，$MB\perp CE$，所以$MB = MH$。
因为$G$是$BC$中点，$CF = BC$，所以$CG=\frac{1}{2}CF$。
在$Rt\triangle CMH$和$Rt\triangle CMG$中，$\left\{\begin{array}{l}CM = CM\\MH = MB\end{array}\right.$，所以$Rt\triangle CMH\cong Rt\triangle CMG(HL)$。
所以$CH = CG$。
已知$CH = 1$，所以$CF=2CH = 2$，则$BC = 2$。
3. （3）**证明$EM=FG + MH$**：
证明：延长$GF$交$AB$于点$N$。
因为$AB// CD$，所以$\angle NBE=\angle FCG$。
又因为$G$是$BC$中点，$BG = CG$，$\angle BGN=\angle CGF$，所以$\triangle BGN\cong\triangle CGF(ASA)$。
所以$NG = FG$，$BN = CF$。
因为四边形$BCFE$是菱形，所以$BE = CF$，则$BN = BE$。
因为$\angle1=\angle2$，$CE\perp BF$，$MB = MH$，$NG = FG$。
所以$EM=EN + NM=FG + MH$。
综上，（1）得证；（2）$BC = 2$；（3）得证。