《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

9. 已知一元二次方程$x^2 - 3x + k = 0的两个实数根为x_1,x_2$,若$x_1x_2 + x_1 + x_2 = 1$,则实数$k = $-2.

答案：
-2

10. 若关于$x的一元二次方程x^2 + 2x + 1 - 2m = 0$的两个实数根之积为负数,则实数$m$的取值范围是$m ＞ \frac{1}{2}$.

答案： m的取值范围是$m ＞ \frac{1}{2}$，对应选项应填包含该范围的选项。

11. 已知$x_1,x_2是关于x的方程x^2 - 2kx + k^2 - k + 1 = 0$的两个不相等的实数根.
(1)求$k$的取值范围.
(2)若$k ＜ 5$,且$k,x_1,x_2$都是整数,求$k$的值.

答案：
(1)解：
∵方程有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = (-2k)^2 - 4×1×(k^2 - k + 1) ＞ 0$
$4k^2 - 4k^2 + 4k - 4 ＞ 0$
$4k - 4 ＞ 0$
$4k ＞ 4$
$k ＞ 1$
(2)解：由根与系数的关系得：
$x_1 + x_2 = 2k$，$x_1x_2 = k^2 - k + 1$
∵$k ＞ 1$且$k ＜ 5$，$k$为整数，
∴$k = 2, 3, 4$
当$k = 2$时，方程为$x^2 - 4x + 4 - 2 + 1 = x^2 - 4x + 3 = 0$
解得$x_1 = 1$，$x_2 = 3$，均为整数，符合题意。
当$k = 3$时，方程为$x^2 - 6x + 9 - 3 + 1 = x^2 - 6x + 7 = 0$
判别式$\Delta = 36 - 28 = 8$，根不是整数，舍去。
当$k = 4$时，方程为$x^2 - 8x + 16 - 4 + 1 = x^2 - 8x + 13 = 0$
判别式$\Delta = 64 - 52 = 12$，根不是整数，舍去。
∴$k = 2$

12. 已知关于$x的一元二次方程x^2 - 6x + 2m - 1 = 0有x_1,x_2$两个实数根.
(1)求$m$的取值范围.
(2)若$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = \frac{6}{m - 5}$,求$m$的值.

答案：
(1) $m \leq 5$
(2) $m = 2$

13. 菱形$ABCD的边AB和BC的长度恰好是关于x的一元二次方程x^2 - mx + m - 1 = 0$的两个实数根,则$m$的值为 (C)
A.1
B.-1
C.2
D.-2

答案： C

14. 若$a,b,c为\triangle ABC$的三边长,且关于$x的一元二次方程(c - b)x^2 + 2\sqrt{2}(b - a)x + 2(a - b) = 0$有两个相等的实数根,则这个三角形是 (A)
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.不等边三角形

答案： A

15. 已知等腰三角形的三边长分别为$a,b,4$,且$a,b是关于x的一元二次方程x^2 - 12x + m + 2 = 0$的两根,则$m$的值是34.

答案： 34

16. 已知关于$x的一元二次方程x^2 - 2(k + 1)x + k^2 + k + 3 = 0(k$为常数).是否存在满足条件的常数$k$,使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长？若存在,求$k$的值；若不存在,请说明理由.

答案： 解：不存在，理由如下：
设方程的两根为$x_1$，$x_2$，则$x_1 + x_2 = 2(k + 1)$，$x_1x_2 = k^2 + k + 3$。
若两根为菱形两对角线长，因菱形对角线互相垂直且平分，边长为2，故$(\frac{x_1}{2})^2 + (\frac{x_2}{2})^2 = 2^2$，即$x_1^2 + x_2^2 = 16$。
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = [2(k + 1)]^2 - 2(k^2 + k + 3) = 2k^2 + 6k - 2$。
令$2k^2 + 6k - 2 = 16$，解得$k_1 = 2$，$k_2 = -5$。
方程判别式$\Delta = 4(k + 1)^2 - 4(k^2 + k + 3) = 4k - 8$。
当$k = 2$时，$\Delta = 0$，方程有两相等实根，菱形两对角线相等时为正方形，对角线长为$2\sqrt{2}\neq2$，不合题意。
当$k = -5$时，$\Delta = -28 ＜ 0$，方程无实根。
综上，不存在满足条件的常数$k$。