《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

1. 阅读下列材料：
(1)将$x^2 + 2x - 35$分解因式,我们可以按下面的方法解答：
①分解二次项与常数项
$x^2 = x \cdot x$, $-35 = (-5) × (+7)$;
②交叉相乘,验中项
$x×-5$→$7x + (-5x) = 2x$;
$x×+7$
③横向写出两因式
$x^2 + 2x - 35 = (x - 5)(x + 7)$.
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法.
(2)根据乘法原理,
若$ab = 0$,则$a = 0或b = 0$.
试用上述方法和原理解下列方程：
①$m^2 - m = 72$的解是$m_1 = 9$，$m_2 = -8$；
②$x^2 + 40 = 13x$的解是$x_1 = 5$，$x_2 = 8$；
③$x^2 - 3x - 28 = 0$的解是$x_1 = 7$，$x_2 = -4$.

答案： ① $m_1 = 9$，$m_2 = -8$；
② $x_1 = 5$，$x_2 = 8$；
③ $x_1 = 7$，$x_2 = -4$。

2. 由多项式乘法$(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$,将该式从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式$x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)$.
例如,分解因式：
$x^2 + 5x + 6$
$= x^2 + (2 + 3)x + 2×3$
$= (x + 2)(x + 3)$.
问题解决：
关于$x的一元二次方程x^2 - (k + 3)x + 2k + 2 = 0$.
(1)求证：方程总有两个实数根.
(2)若方程有一个根小于1,用分解因式的办法求$k$的取值范围.

答案：
(1)证明：
∵Δ=[-(k+3)]²-4×1×(2k+2)=k²+6k+9-8k-8=k²-2k+1=(k-1)²≥0，
∴方程总有两个实数根。
(2)解：x²-(k+3)x+2k+2=0，x²-(k+3)x+2(k+1)=0，=(x-2)(x-(k+1))=0，解得x₁=2，x₂=k+1。
∵方程有一个根小于1，2不小于1，
∴k+1＜1，解得k＜0。
∴k的取值范围是k＜0。

3. 为解方程$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$,我们可以将$x^2$视为一个整体,设$x^2 = y$,则$x^4 = y^2$,将原方程化为$y^2 - 5y + 4 = 0$,解这个方程,得$y_1 = 1$,$y_2 = 4$,则$x^2 = 1或x^2 = 4$,所以原方程的解为$x_1 = 1$,$x_2 = -1$,$x_3 = 2$,$x_4 = -2$.
利用上述方法解方程：$(x^2 - 2x)^2 + x^2 - 2x - 6 = 0$.

答案： 解：设$y = x^2 - 2x$，则原方程化为$y^2 + y - 6 = 0$。
解$y^2 + y - 6 = 0$，得$y_1 = 2$，$y_2 = -3$。
当$y = 2$时，$x^2 - 2x = 2$，即$x^2 - 2x - 2 = 0$，解得$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$。
当$y = -3$时，$x^2 - 2x = -3$，即$x^2 - 2x + 3 = 0$，$\Delta = (-2)^2 - 4×1×3 = 4 - 12 = -8 ＜ 0$，此方程无实数根。
所以原方程的解为$x_1 = 1 + \sqrt{3}$，$x_2 = 1 - \sqrt{3}$。