《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

8. 设$(a^2+a+1)^2-2(a^2+a+1)-3= 0$,则$a= $$-2$或$1$.

答案： $-2$或$1$

9. ▶中考热点•新定义 定义符号$\max\{a,b\}$的含义为：当$a\geq b$时,$\max\{a,b\}= a$；当$a＜b$时,$\max\{a,b\}= b$. 如：$\max\{3,1\}= 3$,$\max\{-3,2\}= 2$,则方程$\max\{x,-x\}= x^2-6$的解是$x = 3$或$x = -3$.

答案： $x = 3$或$x = -3$

10. 解关于$x$的方程：
(1)$x^2-(2a-b)x+a^2-ab= 0$；
(2)$\left(\frac{2x-1}{x}\right)^4+\left(\frac{2x-1}{x}\right)^2= 2$.

答案：
(1)解：$x^2-(2a-b)x+a^2-ab=0$
因式分解，得$(x-a)(x-(a-b))=0$
即$x-a=0$或$x-(a-b)=0$
解得$x_1=a$，$x_2=a-b$
(2)解：设$y=\left(\frac{2x-1}{x}\right)^2$，则原方程可化为$y^2+y-2=0$
因式分解，得$(y+2)(y-1)=0$
即$y+2=0$或$y-1=0$
解得$y_1=-2$（舍去），$y_2=1$
当$y=1$时，$\left(\frac{2x-1}{x}\right)^2=1$
开平方，得$\frac{2x-1}{x}=\pm1$
当$\frac{2x-1}{x}=1$时，$2x-1=x$，解得$x=1$
当$\frac{2x-1}{x}=-1$时，$2x-1=-x$，解得$x=\frac{1}{3}$
经检验，$x=1$和$x=\frac{1}{3}$都是原方程的解
所以原方程的解为$x_1=1$，$x_2=\frac{1}{3}$

11. 已知Rt△ABC的两直角边$a,b满足(a^2+b^2)(a^2+b^2-2)= 24$,且$a+b= 2\sqrt{2}$,求此三角形的斜边长及面积.

答案： 解：设 $ c $ 为 $ Rt\triangle ABC $ 的斜边长，由勾股定理得 $ a^2 + b^2 = c^2 $。
已知 $ (a^2 + b^2)(a^2 + b^2 - 2) = 24 $，则 $ c^2(c^2 - 2) = 24 $。
令 $ x = c^2 $，方程化为 $ x(x - 2) = 24 $，即 $ x^2 - 2x - 24 = 0 $。
因式分解得 $ (x - 6)(x + 4) = 0 $，解得 $ x = 6 $ 或 $ x = -4 $（舍去），故 $ c^2 = 6 $，$ c = \sqrt{6} $（斜边长为正）。
因为 $ a + b = 2\sqrt{2} $，所以 $ (a + b)^2 = 8 $，即 $ a^2 + 2ab + b^2 = 8 $。
又 $ a^2 + b^2 = 6 $，代入得 $ 6 + 2ab = 8 $，解得 $ ab = 1 $。
三角形面积 $ S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 1 = \frac{1}{2} $。
答：斜边长为 $ \sqrt{6} $，面积为 $ \frac{1}{2} $。

12. ▶中考热点•整体思想 阅读下列材料：
已知实数$m,n满足(2m^2+n^2+1)(2m^2+n^2-1)= 80$,试求$2m^2+n^2$的值.
解：设$2m^2+n^2= t$,
则原方程变为$(t+1)(t-1)= 80$,
整理,得$t^2-1= 80$,$t^2= 81$,
∴$t= \pm9$.
∵$2m^2+n^2\geq0$,
∴$2m^2+n^2= 9$.
上面这种方法称为“换元法”,换元法是数学学习中最常用的一种思想方法,在结构较复杂的数和式的运算中,若把其中某些部分看成一个整体,并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容,解决下列问题,并写出解答过程.
(1)已知实数$x,y满足(2x^2+2y^2+3)(2x^2+2y^2-3)= 27$,求$x^2+y^2$的值.
(2)若四个连续正整数的积为11880,求这四个连续的正整数.

答案：
(1)3
(2)9，10，11，12