《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

1. 已知Rt△ABC中,∠C= 90°,AC= 2,BC= 3,那么下列各式中正确的是(C)
A.$\sin A= \frac{2}{3}$
B.$\tan A= \frac{2}{3}$
C.$\tan B= \frac{2}{3}$
D.$\cos B= \frac{2}{3}$

答案： C

2. 如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,BC= 3AC,则$\sin B= $(C)

A.$\frac{1}{3}$

B.3
C.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
D.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
]

答案： C

3. 由小正方形组成的网格如图,A,B,C三点都在格点上,则∠ABC的正切值为(C)

A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
]

答案： C

4. 在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,CD⊥AB,垂足为D,如果CD= 4,BD= 3,那么∠A的余弦值是4/5.

答案： 4/5

5. 在△ABC中,∠C= 90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,若$a^2= bc$,则$\sin B$的值为B.

答案： B

6. 已知α为锐角,$\cos(\alpha-20°)= \frac{\sqrt{3}}{2}$,则α等于(B)
A.$30^\circ$
B.$50^\circ$
C.$60^\circ$
D.$80^\circ$

答案： B

7. 若∠α为锐角,且$\tan\alpha＞\sqrt{3}$,则α的取值范围是(A)
A.$60^\circ＜\alpha＜90^\circ$
B.$30^\circ＜\alpha＜60^\circ$
C.$45^\circ＜\alpha＜60^\circ$
D.$30^\circ＞\alpha$

答案： A

8. 在锐角三角形ABC中,$\tan A= 1$,$\cos B= \frac{1}{2}$,则∠C的度数是(A)
A.$75^\circ$
B.$60^\circ$
C.$45^\circ$
D.$105^\circ$

答案： A

9. 已知α为锐角,且$\cos\alpha=\frac{1}{2}$,则$\frac{3\sin\alpha-\tan\alpha}{4\sin\alpha+2\tan\alpha}=$$\frac{1}{8}$.

答案： 解：
∵α为锐角，且$\cos\alpha=\frac{1}{2}$，
∴α=60°，
∴$\sin\alpha=\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan\alpha=\tan60°=\sqrt{3}$，
∴原式=$\frac{3×\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}}{4×\frac{\sqrt{3}}{2}+2×\sqrt{3}}$
=$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{2\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}+2\sqrt{3}}$
=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{4\sqrt{3}}$
=$\frac{1}{8}$
$\frac{1}{8}$

10. 因为$\cos60°=\frac{1}{2}$,$\cos240°=-\frac{1}{2}$,所以$\cos240°=\cos(180°+60°)= -\cos60°$. 由此猜想、推理,当α为锐角时,有$\cos(180°+\alpha)= -\cos\alpha$. 计算：$\cos210°=$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

答案： 本题应填$-\frac{\sqrt{3}}{2}$对应的选项。

11. 计算：
(1)$\cos^245^\circ+\sin60^\circ\cdot\tan30^\circ-\tan30^\circ$；
(2)$\frac{\sin60^\circ+\tan45^\circ}{\cos30^\circ-2\sin30^\circ}$；
(3)$\sqrt{1-2\sin30^\circ\cos30^\circ}$.

答案：
(1)解：原式$=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$
(2)解：原式$=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+1}{\frac{\sqrt{3}}{2}-2×\frac{1}{2}}$
$=\frac{\frac{\sqrt{3}+2}{2}}{\frac{\sqrt{3}-2}{2}}$
$=\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}-2}$
$=\frac{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}$
$=\frac{3 + 4\sqrt{3} + 4}{3 - 4}$
$=\frac{7 + 4\sqrt{3}}{-1}$
$=-7 - 4\sqrt{3}$
(3)解：原式$=\sqrt{\sin^230^\circ+\cos^230^\circ - 2\sin30^\circ\cos30^\circ}$
$=\sqrt{(\sin30^\circ - \cos30^\circ)^2}$
$=|\sin30^\circ - \cos30^\circ|$
$=\left|\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right|$
$=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

12. 在△ABC中,已知∠C= 90°,$c= 8\sqrt{3}$,∠A= 60°,解该直角三角形.

答案： 解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，
∠B=90°-∠A=30°.
∵sinA=$\frac{a}{c}$，∠A=60°，c=8$\sqrt{3}$，
∴a=c·sinA=8$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=12.
∵cosA=$\frac{b}{c}$，∠A=60°，c=8$\sqrt{3}$，
∴b=c·cosA=8$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=4$\sqrt{3}$.
综上，∠B=30°，a=12，b=4$\sqrt{3}$.