《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

1. 若$3a = 5b$,则$a与b$的比为 (B)
A.$6:5$
B.$5:3$
C.$5:8$
D.$8:5$

答案： B

2. 如图,在四边形$ABCD$中,$AD// BC$,点$E在AB$上,$EF// AD交CD于点F$,若$AE:BE = 1:2$,$DF = 3$,则$FC$的长为 (A)

A.6
B.3
C.5
D.9

答案： A

3. 已知$\frac{m}{n}= \frac{4}{5}$,则$\frac{n - m}{m}$的值为$\frac{1}{4}$.

答案： 解：
∵$\frac{m}{n}=\frac{4}{5}$，
∴设$m=4k$，$n=5k$（$k≠0$），
则$\frac{n - m}{m}=\frac{5k - 4k}{4k}=\frac{k}{4k}=\frac{1}{4}$。
故答案为：$\frac{1}{4}$。

4. 若$x= \frac{a}{b + c}= \frac{b}{a + c}= \frac{c}{a + b}$,则$x= $$\frac{1}{2}$或$-1$.

答案： 本题无选项，若为填空题答案为$\frac{1}{2}$或$-1$。

5. 已知线段$AB$,点$P是线段AB$的黄金分割点,$AP＞BP$,设以$AP为边的正方形的面积为S_1$,以$PB$,$AB为边的矩形的面积为S_2$,则$S_1$=$S_2$(选填“$＜$”“$\leq$”“$=$”“$＞$”或“$\geq$”).

答案： C

6. 如图,$AB// CD$,$AD$,$BC相交于点O$. 若$AB = 1$,$CD = 2$,$BO与CO$的比为 (A)

A.$1:2$
B.$1:4$
C.$2:1$

D.$4:1$

答案： A

7. 若$\triangle ABC\backsim\triangle DEF$,$S_{\triangle ABC}:S_{\triangle DEF}= 2:3$,则$\triangle ABC与\triangle DEF$的相似比为 (C)
A.$2:3$
B.$4:9$
C.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
D.$3:2$

答案： C

8. 如图,$\triangle ABC$中,$P为AB$上的点,再添加一个条件：$\angle APC=\angle ACB$（或$\angle ACP=\angle B$或$\frac{AP}{AC}=\frac{AC}{AB}$）,可以使$\triangle ACP和\triangle ABC$相似.

答案： $\angle APC=\angle ACB$（或$\angle ACP=\angle B$或$\frac{AP}{AC}=\frac{AC}{AB}$ ）

9. 如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,若$\triangle ABC\backsim\triangle FCE$,则$\triangle FCE$的面积是8.

答案： 解：由图可知，$BC=2$，$CE=4$，$\triangle ABC$的高为$2$，
$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}× 2× 2=2$，
$\because \triangle ABC\backsim\triangle FCE$，
$\therefore$相似比为$\frac{BC}{CE}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
$\therefore$面积比为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
设$\triangle FCE$的面积为$S$，则$\frac{2}{S}=\frac{1}{4}$，解得$S=8$。
故答案为：$8$。

10. 如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,点$A$,$B$,$C$,$D$在小正方形的顶点处,$AC与BD相交于点O$,则$AO$的长为______.

$\sqrt{17}$

答案： 解：以点A为原点，建立平面直角坐标系。
由网格可知，A(0,0)，B(4,1)，C(4,4)，D(1,2)。
直线AC的解析式为x=4。
设直线BD的解析式为y=kx+b，将B(4,1)，D(1,2)代入得：
$\begin{cases}4k+b=1\\k+b=2\end{cases}$
解得$k=-\frac{1}{3}$，$b=\frac{7}{3}$，即$y=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}$。
当x=4时，$y=-\frac{1}{3}×4+\frac{7}{3}=1$，则O(4,1)。
AO的长为$\sqrt{(4-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{17}$。
$\sqrt{17}$

11. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D$,$G分别在边AB$,$BC$上,$\angle ACD= \angle B$,$AG与CD相交于点F$.
(1)求证：$AC^2= AD\cdot AB$.
(2)若$\frac{AD}{AC}= \frac{DF}{CG}$,求证：$AG是\angle BAC$的平分线.

答案：
(1)证明：
∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∴$AC^2=AD\cdot AB$。
(2)证明：由
(1)知△ACD∽△ABC，
∴∠ADC=∠ACB。
∵∠AFD=∠CFG，
∴△AFD∽△GFC，
∴$\frac{AD}{CG}=\frac{AF}{GF}$。
∵$\frac{AD}{AC}=\frac{DF}{CG}$，
∴$\frac{AD}{CG}=\frac{AC}{DF}$，
∴$\frac{AF}{GF}=\frac{AC}{DF}$，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{GF}{DF}$。
∵∠AFG=∠CFD，
∴△AFG∽△CFD，
∴∠FAG=∠FCD。
∵∠ACD=∠B，
∴∠FAG=∠B。
∵∠AGB=∠AGB，
∴△ABG∽△FAG，
∴∠BAG=∠FAG，
∴AG是∠BAC的平分线。

12. 如图,$AB$是斜靠在墙上的长梯,梯脚$B距墙角1.4\ m$,梯上点$D距离墙1.2\ m$,$BD长0.5\ m$,则梯子的长为 (B)

A.$3.2\ m$
B.$3.5\ m$
C.$4\ m$
D.$4.2\ m$

答案： B