《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

1. 如图,在直角坐标系中,直线$y= -\frac{3}{4}x + 6$与坐标轴相交于 A,B 两点,以 AB 为边在第一象限内作矩形 ABCD,使 AD= 5.
(1)求点 A,B 的坐标.
(2)过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H,求证:△DHA∽△AOB.
(3)求点 D 的坐标.

答案：
(1) $A(8, 0)$，$B(0, 6)$
(2) 证明过程如上
(3) $D(11, 4)$

2. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,AD= 5.一把三角尺的直角顶点 P 在线段 AD 上滑动时(点 P 与 A,D 两点不重合),一直角边始终经过点 C,另一直角边与射线 AB 交于点 E.
(1)求证:△DPC∽△AEP.
(2)当∠CPD= 30°时,求 AE 的长.
(3)当点 E 在线段 AB 上时,求 PD 的取值范围.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEP+∠APE=90°，
∵∠EPC=90°，
∴∠APE+∠DPC=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∴△DPC∽△AEP。
(2)解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，
在Rt△DPC中，∠CPD=30°，CD=2，
∴PD=CD÷tan30°=2÷(√3/3)=2√3，
∴AP=AD-PD=5-2√3，
∵△DPC∽△AEP，
∴AE/PD=AP/CD，
∴AE/(2√3)=(5-2√3)/2，
∴AE=√3(5-2√3)=5√3-6。
(3)解：设PD=x，则AP=5-x，
∵△DPC∽△AEP，
∴AE/PD=AP/CD，
∴AE/x=(5-x)/2，
∴AE=(5-x)x/2，
∵点E在线段AB上，
∴0≤AE≤2，
当AE=0时，(5-x)x/2=0，解得x=0或x=5（舍去），
当AE=2时，(5-x)x/2=2，
x²-5x+4=0，
(x-1)(x-4)=0，
x=1或x=4，
∴PD的取值范围是1≤PD≤4。