《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

1. 已知关于$x的一元二次方程(m - 2)x^2 + 3x + m^2 - 4 = 0$有一个解为0,则$m$的值为(B)
A.2
B.-2
C.±2
D.0

答案： B

2. 若一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)的一个根是x = 1$,则$a + b + c$的值是 (A)
A.0
B.-1
C.1
D.不能确定

答案： A

3. 已知$m是方程x^2 + 4x - 1 = 0$的一个根,则$(m + 5)(m - 1)$的值为-4.

答案： -4

4. 已知$x = 1$,$x = -3都是一元二次方程ax^2 + bx - 3 = 0$的根,求$a$,$b$的值和这个方程的一般形式.

答案： $a=1$，$b=2$，方程的一般形式为 $x^2+2x-3=0$。

5. 若实数$a是一元二次方程x^2 - 3x + 1 = 0$的一个根,求$a^3 + \frac{24}{a^2 + 1}$的值.

答案： 解：
∵实数$a$是一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的一个根，
∴$a^2 - 3a + 1 = 0$，
∴$a^2 = 3a - 1$，$a^2 + 1 = 3a$，
由$a^2 - 3a + 1 = 0$两边同除以$a$（$a≠0$）得：$a - 3 + \frac{1}{a} = 0$，即$a + \frac{1}{a} = 3$。
$a^3 = a \cdot a^2 = a(3a - 1) = 3a^2 - a = 3(3a - 1) - a = 9a - 3 - a = 8a - 3$。
$\frac{24}{a^2 + 1} = \frac{24}{3a} = \frac{8}{a}$。
∴$a^3 + \frac{24}{a^2 + 1} = 8a - 3 + \frac{8}{a} = 8(a + \frac{1}{a}) - 3 = 8×3 - 3 = 24 - 3 = 21$。
答：$a^3 + \frac{24}{a^2 + 1}$的值为$21$。

6. 根据下列表格的对应值,判断方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0,a,b,c为常数)$一个解的范围是 (C)

A.$3 ＜ x ＜ 3.23$
B.$3.23 ＜ x ＜ 3.24$
C.$3.24 ＜ x ＜ 3.25$
D.$3.25 ＜ x ＜ 3.26$

答案： C

7. 小明在探索一元二次方程$x^2 + 3x - 5 = 0$的近似解时计算出了表中对应的数据,则该方程的其中一个解的整数部分是 1.

答案： 解：设$y = x^2 + 3x - 5$。
当$x = 1$时，$y = 1^2 + 3×1 - 5 = -1$；
当$x = 2$时，$y = 2^2 + 3×2 - 5 = 5$。
因为$y$的值从$-1$变为$5$，由负变为正，所以方程$x^2 + 3x - 5 = 0$的一个解在$1$和$2$之间，其整数部分是$1$。
1

8. 如图是一张长为8 cm、宽为6 cm的矩形纸板,将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形,可制成一个底面积是12 cm^2的无盖长方体纸盒. 估算剪去的正方形的边长.(结果精确到十分位)
小明在做这道题时,设剪去的正方形边长为$x$ cm,列出关于$x的方程(8 - 2x)(6 - 2x) = 12$,整理,得$x^2 - 7x + 9 = 0$.
请补全他的探索过程.

第一步：确定解的个位数

因此,1＜ $x$ ＜2.
第二步：确定解的十分位

因此,1.6＜ $x$ ＜1.7.

答案： 解：第一步：
| $x$ | -1 | 0 | 1 | 2 |
| $x^2 - 7x + 9$ | 17 | 9 | 3 | -1 |
因此，$1$＜$x$＜$2$。
第二步：
| $x$ | 1.5 | 1.6 | 1.7 | 1.8 |
| $x^2 - 7x + 9$ | 0.75 | 0.16 | -0.31 | -0.36 |
因此，$1.6$＜$x$＜$1.7$。
估算剪去的正方形的边长约为$1.6$cm（精确到十分位）。