《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,点D为边AC上一点,DE⊥AB于点E,点M为BD的中点,CM的延长线交AB于点F.
(1)求证：CM= EM.
(2)若∠BAC= 50°,求∠EMF的大小.

答案： 1. （1）证明：
在$Rt\triangle BCD$中，$\angle BCD = 90^{\circ}$，$M$为$BD$的中点。
根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得$CM=\frac{1}{2}BD$。
在$Rt\triangle BED$中，$\angle BED = 90^{\circ}$，$M$为$BD$的中点。
同理可得$EM=\frac{1}{2}BD$。
所以$CM = EM$。
2. （2）
因为$CM = EM$，所以$\angle MCE=\angle MEC$。
$\angle CMD=\angle MCE+\angle MEC = 2\angle MCE$，$\angle EMD=\angle MBE+\angle MEB = 2\angle MBE$。
已知$\angle A = 50^{\circ}$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，则$\angle ABC=180^{\circ}-\angle A-\angle ACB=180 - 50-90 = 40^{\circ}$。
因为$DE\perp AB$，所以$\angle DEB = 90^{\circ}$，$\angle BDE = 90^{\circ}-\angle ABC=90 - 40 = 50^{\circ}$。
又因为$CM=\frac{1}{2}BD$，$EM=\frac{1}{2}BD$，所以$\angle CMD = 2\angle MCD$，$\angle EMD = 2\angle MED$。
$\angle CME=\angle CMD+\angle EMD$。
由于$\angle MCD+\angle MED=\angle BDE$（外角关系）。
所以$\angle CME = 2(\angle MCD+\angle MED)=2\angle BDE$。
因为$\angle BDE = 90^{\circ}-\angle ABC$，$\angle ABC = 40^{\circ}$，所以$\angle BDE = 50^{\circ}$。
则$\angle CME = 100^{\circ}$。
所以$\angle EMF = 180^{\circ}-\angle CME=80^{\circ}$。
综上，（1）已证$CM = EM$；（2）$\angle EMF$的大小为$80^{\circ}$。

10. 如图,在△ABC中,D是BC上一点,AB= AD,E,F分别是AC,BD的中点,EF= 2,则AC的长是 (B)

A.3

B.4
C.5
D.6

答案： B

11. 如图,在矩形ABCD中,AB= 6,AD= 8,以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC,点F是CD的中点,则EF的最大值为 (B)

A.8
B.9
C.10
D.$2\sqrt{41}$

答案： B

12. 如图,在四边形ABCD中,∠DAB= 90°,∠DCB= 90°,E,F分别是BD,AC的中点,AC= 8,BD= 10,则EF的长为 (A)

A.3
B.4
C.5
D.$\sqrt{7}$

答案： A

13. 如图,∠MON= 90°,△ABC的顶点A,B分别在OM,ON上,当A点从O出发沿着OM向右滑动时,点B随之在ON上运动,连接OC.若AC= 4,BC= 3,AB= 5,则OC的长度的最大值是______.

5

答案： 解：取AB中点D，连接OD，CD。
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，D为AB中点，AB=5，
∴OD=1/2AB=2.5。
在△ABC中，AC=4，BC=3，D为AB中点，
根据直角三角形斜边上中线性质（或三角形中位线相关结论），CD=1/2AB=2.5。
当O，D，C三点共线且点D在O，C之间时，OC最大，
此时OC=OD+CD=2.5+2.5=5。
5

14. 已知：如图,四边形ABCD中,∠ABC= ∠ADC= 90°,AC与BD相交于点O,E,F分别是AC,BD的中点.连接EF,则∠EFO= 90°.

答案： 解：连接BE、DE。
∵∠ABC=90°，E是AC中点，
∴BE=1/2AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
同理，DE=1/2AC，
∴BE=DE。
∵F是BD中点，
∴EF⊥BD（等腰三角形三线合一）。
∴∠EFO=90°。
90°

15. 如图,△ABC中,∠C= 90°,AB= 8,点D为△ABC外一点,且AD⊥BD,连接CD,若CD= 4,则∠AEB的度数为60°.

答案： 1. 首先，取$AB$的中点$O$：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，所以$OC=\frac{1}{2}AB$。
已知$AB = 8$，则$OC=\frac{1}{2}×8 = 4$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle ADB = 90^{\circ}$，同理可得$OD=\frac{1}{2}AB$，所以$OD = 4$。
又已知$CD = 4$。
2. 然后，判断$\triangle OCD$的形状：
因为$OC = OD=CD = 4$，根据等边三角形的判定定理（三条边都相等的三角形是等边三角形），所以$\triangle OCD$是等边三角形。
那么$\angle COD=60^{\circ}$。
3. 最后，求$\angle AEB$的度数：
因为$\angle AEB$与$\angle AOB$是对顶角，$\angle AOB=\angle COD$（同弧所对的圆心角相等）。
所以$\angle AEB = 60^{\circ}$。
故答案为$60^{\circ}$。

16. 如图,E是矩形ABCD的边CB延长线上一点,CE= CA,F是AE的中点,连接BF,DF.求证：BF⊥FD.

视频讲解

答案： 证明：连接CF。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，AC=BD。
∵F是AE的中点，∠ABE=90°，
∴BF=AF=EF，
∴∠FAB=∠FBA。
∵∠FAB+∠FAD=90°，∠FBA+∠FBC=90°，
∴∠FAD=∠FBC。
∵CE=CA，F是AE的中点，
∴CF⊥AE，
∴∠AFC=90°。
在Rt△AFC中，F是AE中点，
∴BF=AF（已证），CF=AF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴BF=CF，
∴∠FCB=∠FBC。
∵∠FAD=∠FBC，
∴∠FAD=∠FCB。
在△FAD和△FCB中，
AF=BF，∠FAD=∠FBC，AD=BC，
∴△FAD≌△FCB（SAS），
∴∠AFD=∠BFC。
∵∠AFC=∠AFD+∠DFC=90°，
∴∠BFC+∠DFC=90°，即∠BFD=90°，
∴BF⊥FD。