《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

1. 如图,等边三角形OAB的一边OA在x轴上,双曲线$y= \frac{\sqrt{3}}{x}$在第一象限内的图象经过OB边的中点C,则点B的坐标是 (C)

A.$(1,\sqrt{3})$
B.$(\sqrt{3},1)$
C.$(2,2\sqrt{3})$

D.$(2\sqrt{3},2)$

答案： C

2. 如图,过点O的直线交反比例函数$y= -\frac{4}{x}$于A,B两点,分别过A,B两点作y轴、x轴的平行线,交于点C,则$S_{\triangle ABC}= $8.

答案： 8

3. 如图,点C,D在双曲线$y= \frac{3}{x}(x＞0)$上,点A,B在x轴上,且OA= AB,CO= CA,DA= DB,则$S_{\triangle OCA}+S_{\triangle ADB}= $4.

答案： 4

4. 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为$(1,0)$,点B在反比例函数$y= \frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,BC⊥x轴于点C,$\angle BAC= 30°$,将$\triangle ABC$沿AB翻折,若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上,则k的值为______$2\sqrt{3}$.

答案： $2\sqrt{3}$

5. 如图,直线$y= \frac{3}{2}x+b$经过点A$(-2,0)$,与y轴正半轴交于点B,在x轴正半轴上有一点D,且$\frac{OB}{OD}= \frac{3}{2}$.过D点作DC⊥x轴,交直线$y= \frac{3}{2}x+b$于点C,反比例函数$y= \frac{k}{x}(x＞0)$经过点C.
(1)求b的值和反比例函数的表达式.
(2)点E是x轴上一点,且$\triangle COE$是等腰三角形,求点E的坐标.
视频讲解

答案：
(1)解：
∵直线$y=\frac{3}{2}x+b$经过点$A(-2,0)$，
∴$0=\frac{3}{2}×(-2)+b$，解得$b=3$。
∴直线解析式为$y=\frac{3}{2}x+3$。
令$x=0$，则$y=3$，
∴$B(0,3)$，$OB=3$。
∵$\frac{OB}{OD}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{3}{OD}=\frac{3}{2}$，$OD=2$。
∵$D$在$x$轴正半轴，
∴$D(2,0)$。
∵$DC\perp x$轴，
∴点$C$横坐标为$2$。
将$x=2$代入$y=\frac{3}{2}x+3$，得$y=\frac{3}{2}×2+3=6$，
∴$C(2,6)$。
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$经过点$C$，
∴$6=\frac{k}{2}$，$k=12$。
∴反比例函数表达式为$y=\frac{12}{x}$。
(2)解：设$E(m,0)$，$O(0,0)$，$C(2,6)$。
$OC=\sqrt{(2-0)^2+(6-0)^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$，
$OE=|m|$，$CE=\sqrt{(m-2)^2+(0-6)^2}=\sqrt{(m-2)^2+36}$。
①当$OC=OE$时，$|m|=2\sqrt{10}$，$m=\pm2\sqrt{10}$。
∵$x＞0$（反比例函数条件，$E$在$x$轴，结合图形取正半轴），
∴$E(2\sqrt{10},0)$。
②当$OC=CE$时，$2\sqrt{10}=\sqrt{(m-2)^2+36}$，
两边平方：$40=(m-2)^2+36$，$(m-2)^2=4$，
$m-2=\pm2$，$m=4$或$m=0$（$m=0$与$O$重合，舍去），
∴$E(4,0)$。
③当$OE=CE$时，$|m|=\sqrt{(m-2)^2+36}$，
两边平方：$m^2=(m-2)^2+36$，$m^2=m^2-4m+4+36$，
$4m=40$，$m=10$，
∴$E(10,0)$。
综上，点$E$坐标为$(2\sqrt{10},0)$或$(4,0)$或$(10,0)$。