《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

1. 如图,在菱形ABCD中,$\angle ABC= 60°$,E为BC边的中点,M为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于$AM+\frac{1}{2}BM$的最小值的是(B)

A.AD
B.AE

C.BD
D.BE
]

答案： B

2. 如图,P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点,已知AB= 1,$\angle ADC= 120°$,M,N分别是AB,BC边的中点,则$\triangle MPN$周长的最小值是 1 + √3/2.

答案： 1 + √3/2

3. 如图,在菱形ABCD中,E为对角线BD上的一动点,$\angle ABC= 60°$,$AB= 2\sqrt{3}$,当$\triangle ABE$为等腰三角形时,BE的长为 6或2√3

答案： 解：
在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2√3，
∴△ABC为等边三角形，AC=AB=2√3，BD⊥AC，
设AC与BD交于点O，则AO=√3，BO=√(AB²-AO²)=√[(2√3)²-(√3)²]=3，
∴BD=2BO=6，∠ABO=30°。
情况1：AB=AE
∵AB=AE，AO⊥BD，
∴BO=OE=3，
∴BE=BO+OE=6。
情况2：AB=BE
∵AB=2√3，
∴BE=AB=2√3。
情况3：AE=BE
设OE=x，则BE=3+x，AE=3+x，
在Rt△AOE中，AO²+OE²=AE²，
即(√3)²+x²=(3+x)²，解得x=-1（舍去，OE长度不能为负）。
综上，BE的长为6或2√3。
答案：6或2√3

4. 如图,已知AB= 4,C为线段AB上一个动点,分别以AC,BC为边在AB的同侧作菱形ACDE和正三角形BCF,点C,F,D在同一直线上,M,N分别是线段AD,BF的中点.当点C在线段AB上移动时,线段MN的最小值为 $\sqrt{3}$.

答案： $\sqrt{3}$

5. 如图,在四边形ABCD中,$AC\perp BD$于点O,AO= CO= 4,BO= DO= 3,点P为线段AC上的一个动点.过点P分别作PM⊥AD于点M,作PN⊥DC于点N.连接PB,在点P运动过程中,PM+PN+PB的最小值等于 39/5.
]

答案： 39/5

6. 如图,菱形ABCD的边长为3,$\angle BAD= 60°$,点E,F在对角线AC上(点E在点F的左侧),且EF= 1,则DE+BF的最小值为 $\sqrt{7}$.

答案： 1. 首先，利用菱形的性质：
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AB = AD$，$\angle BAC=\angle DAC=\frac{1}{2}\angle BAD = 30^{\circ}$。
作$DM// AC$，且$DM = EF = 1$，连接$BM$交$AC$于$F$，过$D$作$DN\perp AB$于$N$。
由于$DM// EF$且$DM = EF$，所以四边形$DEFM$是平行四边形，那么$DE = MF$。
所以$DE + BF=MF + BF=BM$，此时$BM$的长就是$DE + BF$的最小值。
2. 然后，求$AN$和$DN$的长度：
在$Rt\triangle ADN$中，$AD = 3$，$\angle DAN = 60^{\circ}$。
根据三角函数关系，$\cos\angle DAN=\frac{AN}{AD}$，$\sin\angle DAN=\frac{DN}{AD}$。
所以$AN = AD\cos60^{\circ}=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，$DN = AD\sin60^{\circ}=3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
又因为$DM = EF = 1$，且$DM// AC$，所以$\angle MAD=\angle BAC = 30^{\circ}$，则$\angle MAB=\angle MAD+\angle BAD=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$。
且$AM = DN=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$AB = 3$。
3. 最后，求$BM$的长度：
在$Rt\triangle ABM$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$a = AB$，$b = AM$，$c = BM$）。
$BM=\sqrt{AB^{2}+AM^{2}}$，将$AB = 3$，$AM=\frac{3\sqrt{3}}{2}$代入可得：
$BM=\sqrt{3^{2}+(\frac{3\sqrt{3}}{2})^{2}}=\sqrt{9 + \frac{27}{4}}=\sqrt{\frac{36 + 27}{4}}=\sqrt{\frac{63}{4}}=\sqrt{\frac{9×7}{4}}=\frac{3\sqrt{7}}{2}$。
故$DE + BF$的最小值为$\sqrt{7}$。

7. 如图,在矩形ABCD中,AB= 6,BC= 8,E是AD边上的动点,M是点A关于直线BE对称的点,连接MD,则MD的最小值是(C)

A.6
B.5
C.4
D.3

答案： C

8. 如图,四边形ABCD是矩形,$AB= \sqrt{10}$,$AD= 4\sqrt{2}$,点P是边AD上一点(不与点A,D重合),连接PB,PC,点M,N分别是PB,PC的中点,连接MN,AM,DN,点E在边AD上,$ME// DN$,则AM+ME的最小值是(C)

A.$2\sqrt{3}$
B.3
C.$3\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{2}$
]

答案： C