《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

10. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,AC= 10,BC= 8,线段DE的两个端点D,E分别在边AC,BC上滑动,且DE= 6,若点M,N分别是DE,AB的中点,则MN的最小值为$\sqrt{41}-3$.

答案： $\sqrt{41}-3$

11. 如图,在矩形ABCD中,AD= 13,CD= 12,点E,F分别在BC,CD上,BE= 5,CF= 6,若点G是AE的中点,H是BF的中点,连接GH,则GH的长为______.

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答案： 解：以点D为原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。
则各点坐标为：D(0,0)，C(12,0)，B(12,13)，A(0,13)。
∵BE=5，BC=AD=13，
∴EC=13-5=8，
∴E(12,8)。
∵CF=6，CD=12，
∴DF=12-6=6，
∴F(6,0)。
∵G是AE的中点，A(0,13)，E(12,8)，
∴G点坐标为$(\frac{0+12}{2},\frac{13+8}{2})=(6,\frac{21}{2})$。
∵H是BF的中点，B(12,13)，F(6,0)，
∴H点坐标为$(\frac{12+6}{2},\frac{13+0}{2})=(9,\frac{13}{2})$。
∴GH=$\sqrt{(9-6)^2+(\frac{13}{2}-\frac{21}{2})^2}=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。
5

12. 如图,在矩形ABCD中,AB= 3,AD= 4,点E在CD上,∠EAF= ∠DAC,AE= AF,连接CF. 作FM⊥AC,垂足为M.
(1)求证：AM= AD.
(2)当$AE= \sqrt{19}$时,求CF的长.
]

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵FM⊥AC，
∴∠AMF=90°=∠D，
∵∠EAF=∠DAC，
∴∠DAE=∠MAF，
在△ADE和△AMF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠D=∠AMF \\ ∠DAE=∠MAF \\ AE=AF\end{array}\right.$
∴△ADE≌△AMF(AAS)，
∴AM=AD.
(2)解：
在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，
∴AC=$\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
由
(1)得AM=AD=4，△ADE≌△AMF，
∴MF=DE，
∵AC=5，AM=4，
∴MC=AC-AM=1，
设DE=MF=x，
∵CD=AB=3，
∴CE=CD-DE=3-x，
在Rt△ADE中，AD=4，DE=x，AE=$\sqrt{19}$，
由勾股定理得$4^2+x^2=(\sqrt{19})^2$，
解得x=$\sqrt{3}$(x=-$\sqrt{3}$舍去)，
∴MF=DE=$\sqrt{3}$，
在Rt△CMF中，MC=1，MF=$\sqrt{3}$，
∴CF=$\sqrt{MC^2+MF^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$.

13. 如图1,已知锐角△ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的高,M,N分别是线段BC,DE的中点.
(1)求证：MN⊥DE.
(2)连接DM,ME,猜想∠A与∠DME之间的数量关系,并证明猜想.
(3)当∠A变为钝角时,如图2,上述(1)、(2)中的结论是否都还成立？若结论成立,直接回答,不需证明；若结论不成立,说明理由.

答案：
(1)见解析；
(2)$\angle DME = 180^{\circ}-2\angle A$，证明见解析；
(3)
(1)成立；
(2)不成立。