《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

1. 下列方程中,是一元二次方程的是 (D)
A.$ax^{2}+bx + c = 0$
B.$x^{2}-2y = 0$
C.$x^{2}+\frac{1}{x}= -3$
D.$x^{2}= 0$

答案： D

2. 方程$4x^{2}= 81 - 9x$化成一般形式后,二次项的系数为4,它的一次项是 (C)
A.9
B.$-9x$
C.$9x$
D.$-9$

答案： C

3. 关于x的方程$(m + 1)x^{2}-(m - 1)x + 1 = 0$是一元二次方程,那么m满足$m\neq-1$.

答案： $m\neq-1$

4. 一元二次方程$a(x - 1)^{2}+b(x - 1)+c = 0化为一般形式后为2x^{2}-3x - 1 = 0$,试求a,b,c的值.

答案： 解：将方程$a(x - 1)^{2}+b(x - 1)+c = 0$展开得：
$\begin{aligned}a(x^2 - 2x + 1) + b(x - 1) + c &= 0\\ax^2 - 2ax + a + bx - b + c &= 0\\ax^2 + (-2a + b)x + (a - b + c) &= 0\end{aligned}$
因为化为一般形式后为$2x^{2}-3x - 1 = 0$，所以可得方程组：
$\begin{cases}a = 2\\-2a + b = -3\\a - b + c = -1\end{cases}$
将$a = 2$代入$-2a + b = -3$，得：$-4 + b = -3$，解得$b = 1$。
将$a = 2$，$b = 1$代入$a - b + c = -1$，得：$2 - 1 + c = -1$，解得$c = -2$。
所以$a = 2$，$b = 1$，$c = -2$。

5. 求证：不论m为何值,关于x的方程$(m^{2}+2m + 2)x^{2}-(4m - 1)x - 7 = 0$总为一元二次方程.

答案： 证明：要使方程为一元二次方程，需二次项系数不为0。
$m^{2}+2m + 2 = (m + 1)^{2}+1$
因为$(m + 1)^{2} \geq 0$，所以$(m + 1)^{2}+1 \geq 1 ＞ 0$
即不论m为何值，二次项系数$m^{2}+2m + 2$恒不为0。
故不论m为何值，该方程总为一元二次方程。

6. 列出符合下列题意的方程,并将其化为一元二次方程的一般形式.
(1)把一个长为100 cm的铁丝折成一个面积为$525cm^{2}$的长方形.设长方形的长为x cm.
(2)一个两位数等于它的两个数位上数字的积的3倍,十位上的数字比个位上的数字小2,求这个两位数.设十位上的数字为x.

答案：
(1)$x^{2} - 50x + 525 = 0$
(2)$3x^{2} - 5x - 2 = 0$

7. 中考热点·生活情境 古算趣题：“笨伯执竿要进屋,无奈门框拦住竹,横多四尺竖多二,没法急得放声哭,有个邻居聪明者,教他斜竿对两角,笨伯依言试一试,不多不少刚抵足,借问竿长多少数,谁人算出我佩服.”其大意是：笨伯拿竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,横着比门宽4尺,竖着比门高2尺.他的邻居教他沿着门的对角线斜着拿竿,笨伯一试,刚好进去.问：竹竿有多少尺？

答案： 解：设竹竿长为$x$尺，则门宽为$(x - 4)$尺，门高为$(x - 2)$尺。
根据题意，得$(x - 4)^2 + (x - 2)^2 = x^2$
展开并整理，得$x^2 - 12x + 20 = 0$
解得$x_1 = 10$，$x_2 = 2$
因为门宽和门高需为正数，当$x = 2$时，$x - 4 = -2$（不合题意，舍去）
所以$x = 10$
答：竹竿有10尺。