《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

1. ▶易错题 在四边形ABCD中,AD//BC,AB= CD.下列说法中再添加一个能使四边形ABCD为矩形的是(C)
A.AB//CD
B.AD= BC
C.∠A= ∠B
D.∠A= ∠D

答案： C

2. 如图是一个平行四边形的活动框架,对角线是两根橡皮筋.若改变框架的形状,则∠α也随之变化,两条对角线的长度也随之发生变化.当∠α= 90°时,活动框架是矩形.

答案： 90$^\circ$

3. 工人师傅在测量一个门框是否是矩形时,只需要用到一个直角尺,则他用到的判定方法是有三个角是直角的四边形是矩形.

答案： 有三个角是直角的四边形是矩形

4. 如图,在△ABC中,AB= AC,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF//BC,交CE的延长线于点F,连接BF.求证：四边形ADBF是矩形.

答案： 证明：
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DCE。
∵E是AD的中点，
∴AE=DE。
在△AFE和△DCE中，
∠AFE=∠DCE，
∠AEF=∠DEC，
AE=DE，
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF=DC。
∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∴AF=BD。
∵AF//BD，AF=BD，
∴四边形ADBF是平行四边形。
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴∠ADB=90°。
∴四边形ADBF是矩形。

5. 下列条件中,能判定四边形是矩形的是(C)
A.对角线互相平分的四边形
B.对角线互相平分且垂直的四边形
C.对角线互相平分且相等的四边形
D.对角线互相垂直且相等的四边形

答案： C

6. 如图,在□ABCD中,AC,BD相交于点O,AC= 8,当OD= 4时,□ABCD是矩形.

答案： 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线AC与BD互相平分，即OA=OC，OB=OD。
∵AC=8，
∴OA=OC=4。
当□ABCD是矩形时，对角线相等，即AC=BD。
∴BD=AC=8，
∵OB=OD，
∴OD=BD/2=4。
故答案为4。

7. 如图,为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直,工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC,BD的长度,若二者长度相等,则该书架的侧边与上、下边都垂直.请你说出其中的数学原理：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角。

答案： 对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角。

8. 如图,点B在线段MN上,过AB的中点O作MN的平行线,分别交∠ABM和∠ABN的角平分线于点C和点D,连接AC,AD,判断四边形ACBD的形状,并证明.

答案： 四边形ACBD是矩形。
证明：
∵CD//MN，
∴∠OCB=∠CBM，∠ODB=∠DBN。
∵BC平分∠ABM，BD平分∠ABN，
∴∠CBM=∠CBO，∠DBN=∠DBO。
∴∠OCB=∠CBO，∠ODB=∠DBO。
∴OC=OB，OD=OB。
∴OC=OD。
∵O是AB中点，
∴OA=OB。
∴四边形ACBD是平行四边形。
∵∠ABM+∠ABN=180°，
∴∠ABC+∠ABD=1/2(∠ABM+∠ABN)=90°，即∠CBD=90°。
∴平行四边形ACBD是矩形。