《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

8. 新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选. 某停车场为了解决充电难的问题,现将长为100 m、宽为80 m的矩形停车场进行改造. 如图,将在矩形停车场沿着边AB和AD修建宽度相同的充电桩区域,剩余停车场的面积为$3500 m^2,$求充电桩区域的宽度是多少？

答案： 30

9. 已知关于$x的方程a(x + m)^2 + b= 0$($a$,$b$,$m$为常数,$a\neq0$)的解是$x_1= 2$,$x_2= -1$,那么方程$a(x + m + 2)^2 + b= 0$的解是$x_1 = 0$，$x_2 = -3$.

答案： 解：已知方程$a(x + m)^2 + b = 0$的解是$x_1 = 2$，$x_2 = -1$，
令$y = x + 2$，则方程$a(x + m + 2)^2 + b = 0$可化为$a(y + m)^2 + b = 0$，
因为$a(y + m)^2 + b = 0$的解为$y_1 = 2$，$y_2 = -1$，
所以$x + 2 = 2$或$x + 2 = -1$，
解得$x_1 = 0$，$x_2 = -3$。
故方程$a(x + m + 2)^2 + b = 0$的解是$x_1 = 0$，$x_2 = -3$。

10. 已知点$A(2x,y^2 + 4)与点B(x^2 + 1,-4y)$关于坐标原点对称,则$x + y$的值是1.

答案： 解：因为点A与点B关于坐标原点对称，所以横、纵坐标互为相反数。
可得：$2x + (x^2 + 1) = 0$，$(y^2 + 4) + (-4y) = 0$。
对于$2x + x^2 + 1 = 0$，整理得$x^2 + 2x + 1 = 0$，即$(x + 1)^2 = 0$，解得$x = -1$。
对于$y^2 - 4y + 4 = 0$，即$(y - 2)^2 = 0$，解得$y = 2$。
所以$x + y = -1 + 2 = 1$。
1

11. ▶中考热点·新定义 阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学. 一天他在解方程$x^2= -1$时,突发奇想：$x^2= -1$在实数范围内无解,如果存在一个数$i$,使$i^2= -1$,那么当$x^2= -1$时,有$x= \pm i$,从而$x= \pm i是方程x^2= -1$的两个根.
(1)若$i$可以运算,例如：$i^3= i^2\cdot i= -1\cdot i= -i$,则$i^4= \underline{1}$.
(2)求方程$x^2 - 6x + 10= 0$的解(结果用$i$表示).
$x = 3 \pm i$

答案：
(1) 1
(2) $x = 3 \pm i$

12. ▶中考热点·材料阅读 阅读材料,回答下列问题：
阿尔·花拉子米(约780～约850),著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家,是代数与算术的整理者,被誉为“代数之父”. 他利用正方形巧妙解出了一元二次方程$x^2 + 2x - 35= 0$的一个正根.
他的构思为：如图,将边长为$x$的正方形和边长为1的正方形,外加两个长方形(长方形的长为$x$、宽为1)拼合在一起,面积就是$x^2 + 2\cdot x\cdot1 + 1^2$,即$x^2 + 2x + 1$,而由原方程$x^2 + 2x - 35= 0$变形,得$x^2 + 2x + 1= 35 + 1$,即边长为$x + 1$的正方形面积为36. 所以$(x + 1)^2= 36$,则$x= 5$.
(1)上述求解过程中所用的方法与下列方法一致的是 (C)
A.直接开平方法
B.公式法
C.配方法
D.因式分解法
(2)他所用的最主要数学思想是 (B)
A.分类讨论思想
B.数形结合思想
C.转化思想
D.整体思想
(3)运用上述方法构造出符合方程$x^2 + 6x - 7= 0$的一个正根的正方形.(画出拼接的正方形并求出正根)

$x = 1$

答案：
(1)C
(2)B
(3)$x = 1$