《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

9.'已知$x^2 + y'y^2 - 4x + 6y + 13 = 0$,则代数式x + y的值为$-1$

答案： $-1$

10. 已知a,b,c是等腰三角形ABC的三条边,其中b = 4,若a,c是关于y的一元二次方程$y^2 - 6y + n = 0$两个根,则n的值是8或9

答案： 解：因为a,c是方程$y^2 - 6y + n = 0$的两个根，所以由韦达定理得$a + c = 6$，$ac = n$。
等腰三角形ABC的三边为a,b,c，b=4，分两种情况：
情况一：当a=c时，$a + c = 6$，则$a = c = 3$。此时三角形三边为3,4,3，满足三角形三边关系（3+3＞4，4-3＜3）。所以$n = ac = 3×3 = 9$。
情况二：当a=4或c=4时，不妨设a=4，则$c = 6 - a = 6 - 4 = 2$。此时三角形三边为4,4,2，满足三角形三边关系（4+2＞4，4-2＜4）。所以$n = ac = 4×2 = 8$。
综上，n的值为8或9。

11. 某商店购进600个旅游纪念品,进价为每个6元,第一周以每个10元的价格售出200个.第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个,但商店了适当增加销量,决定降价销售(根据市场调查,单价每降低1元',可多售出50个,但售价不得低于进价),单价降低销售一周后,商店对剩余的旅游纪念品进行清仓处理,以每个4元的价格全部售出.如果这批旅游纪念品共获利1250元,那么第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元?
解题方案:
(1)设该商店第二周降低x元销售纪念品,用含x的代数式表示.
①该商店第二周的销售利润;
②该商店对剩余纪念品清仓处理后的利润.
(2)在(1)前前提下按题目要求完成解答.

答案： 解：
(1)①第二周售价为(10 - x)元，销量为(200 + 50x)个，每个利润为(10 - x - 6) = (4 - x)元，所以第二周销售利润为(4 - x)(200 + 50x)元。
②剩余纪念品数量为600 - 200 - (200 + 50x) = (200 - 50x)个，每个清仓利润为(4 - 6) = -2元，所以清仓处理后的利润为-2(200 - 50x)元。
(2)第一周利润为200×(10 - 6) = 800元。根据总利润为1250元，可得方程：800 + (4 - x)(200 + 50x) - 2(200 - 50x) = 1250。
展开整理得：800 + 800 + 200x - 200x - 50x² - 400 + 100x = 1250，即-50x² + 100x + 1200 = 1250，化简为x² - 2x + 1 = 0，解得x = 1。
因为售价不得低于进价，10 - x = 9 ≥ 6，所以x = 1符合题意。
答：第二周每个旅游纪念品的销售价格为9元。

五、思想方法专题
(一)转化思想
12. 已知实数α,β满足$\alpha^2 + 3\alpha - 1 = 0$,$\beta^2 - 3\beta - 1 = = 0$,且$\alpha\beta \neq 1$,求'$\alpha^{-2} + 3\beta'$的值.

答案： 10

13. 已知关于x的一元二次方程'$x^2 + (m'm - 3)xx - 3m'm = 0$.
(1)求证':这个一元二次方程一定有两个实数根.
(2)设这个一元二次方程的两根为a,b,且2,a,b分别是一个直角三角形的三边长,求m的值.

答案： $(1)$ 证明这个一元二次方程一定有两个实数根
对于一元二次方程$Ax^2 + Bx + C = 0$（$A\neq0$），其判别式$\Delta=B^2 - 4AC$。
在方程$x^{2}+(m - 3)x-3m = 0$中，$A = 1$，$B = m - 3$，$C = -3m$。
则$\Delta=(m - 3)^2-4×1×(-3m)$
$=m^2-6m + 9 + 12m$
$=m^2+6m + 9$
$=(m + 3)^2$。
因为任何数的平方都大于等于$0$，即$(m + 3)^2\geq0$，所以$\Delta\geq0$。
所以这个一元二次方程一定有两个实数根。
$(2)$ 求$m$的值
由韦达定理可知，在一元二次方程$x^{2}+(m - 3)x-3m = 0$中，$a + b=-(m - 3)=3 - m$，$ab=-3m$。
对$x^{2}+(m - 3)x-3m = 0$进行因式分解得$(x + m)(x - 3)=0$，则方程的两根为$x_1=-m$，$x_2 = 3$。
不妨设$a=-m$，$b = 3$。
当$2$为直角边时**：
根据勾股定理$a^2 + 2^2 = b^2$（假设$b$为斜边），即$(-m)^2+2^2 = 3^2$，
$m^2+4 = 9$，
$m^2=9 - 4=5$，
解得$m=\pm\sqrt{5}$。
当$m = \sqrt{5}$时，$a=-\sqrt{5}$，边长不能为负，舍去；
当$m=-\sqrt{5}$时，$a=\sqrt{5}$，符合题意。
当$2$为斜边时**：
根据勾股定理$a^2 + b^2 = 2^2$，即$(-m)^2+3^2 = 2^2$，
$m^2+9 = 4$，
$m^2=4 - 9=-5$，此方程无实数解。
综上，$m=-\sqrt{5}$。