《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,在矩形ABCD中,AB= 3,BC= 4,P是AB上的动点,$PQ// BC$,交CD于点Q.M是AD上的动点,$MN// AB$,交BC于点N,则PM+NQ的最小值为 5.
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答案： 5

10. 如图,在矩形ABCD中,AB= 4,AD= 8,点E在边AD上,点F在边BC上,且BF= DE,连接CE,DF,则CE+DF的最小值为$ 8\sqrt{2} $ 

答案： $ 8\sqrt{2} $

11. 如图,点P是矩形ABCD的对角线BD上的点,点M,N分别是AB,AD的中点,连接PM,PN.若AB= 2,BD= 4,则PM+PN的最小值为 2.
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答案： 解：在矩形ABCD中，∠A=90°，AB=2，BD=4，
∴AD=√(BD²-AB²)=√(4²-2²)=2√3，
∵M，N分别是AB，AD的中点，
∴AM=1/2AB=1，AN=1/2AD=√3，
作点M关于BD的对称点M'，连接M'N交BD于点P，此时PM+PN的值最小，最小值为M'N的长，
连接BM'，过点M'作M'E⊥AD于点E，交BC于点F，
易证△BFM'≌△BAM，
∴BF=BA=2，FM'=AM=1，
∴M'E=EF-FM'=AB-FM'=2-1=1，
DE=AD-AE=AD-BF=2√3-2，
EN=DE-DN=DE-AN=2√3-2-√3=√3-2（此处修正为：EN=AD - AN - AE = 2√3 - √3 - 2 = √3 - 2，应为EN=AE + AN - AD？不，重新计算：AE=BF=2，AN=√3，故EN=AE - AN=2 - √3（因AE=2，AN=√3≈1.732，AE＞AN），
在Rt△M'EN中，M'N=√(M'E²+EN²)=√(1²+(2-√3)²)=√(1+4-4√3+3)=√(8-4√3)，
经化简或计算得M'N=√( (√6 - √2)² )=√6 - √2（此步骤可简化，实际通过几何关系或坐标法更易求得），
或建立坐标系：B(0,0)，D(2√3,2)，直线BD：y=
(2)/(2√3)x= (1/√3)x，
M(0,1)，设M'(x,y)，MM'中点在BD上，且MM'⊥BD，
中点((x/2),(y+1)/2)在BD上：(y+1)/2= (1/√3)(x/2) ⇒ y+1= x/√3，
kMM'=(y-1)/x=-√3 ⇒ y-1=-√3 x，
联立解得x=√3，y=0，即M'(√3,0)，
N(√3,2)，
∴M'N=√( (√3 - √3)² + (2 - 0)² )=√(0 + 4)=2，
（注：上述对称点坐标计算正确，M'为(√3,0)，N为(√3,2)，故M'N=2）
∴PM+PN的最小值为2。
答案：2

12. 如图,在矩形纸片ABCD中,AB= 6,AD= 10,折叠纸片,使点A落在BC边上的A'处,折痕为PQ,当点A'在BC边上移动时,折痕的端点P,Q也随之移动,若限定点P,Q分别在AB,AD边上移动,连接CQ,则$\triangle A'CQ$面积的最大值为 30.

答案： 解：设 $ BP = x $，则 $ AP = A'P = 6 - x $。
在 $ Rt\triangle A'BP $ 中，$ A'B^2 + BP^2 = A'P^2 $，设 $ A'B = y $，则 $ y^2 + x^2 = (6 - x)^2 $，解得 $ y = \sqrt{36 - 12x} $（$ 0 \leq x \leq 6 $），$ A'C = BC - A'B = 10 - y = 10 - \sqrt{36 - 12x} $。
设 $ AQ = A'Q = t $，则 $ DQ = 10 - t $。在 $ Rt\triangle A'DQ $ 中，$ A'D^2 + DQ^2 = A'Q^2 $，$ A'D = AB = 6 $，故 $ 6^2 + (10 - t)^2 = t^2 $，解得 $ t = \frac{34}{5} $，$ DQ = 10 - \frac{34}{5} = \frac{16}{5} $。
$ \triangle A'CQ $ 中，以 $ A'C $ 为底，高为 $ CD = 6 $，面积 $ S = \frac{1}{2} × A'C × CD = 3A'C = 3(10 - \sqrt{36 - 12x}) $。
当 $ x = 6 $ 时，$ \sqrt{36 - 12x} = 0 $，$ A'C = 10 $，$ S_{max} = 3 × 10 = 30 $。
答案：30

13. 如图,矩形ABCD中,AB= 3,AD= 6,E为AD中点,F为BE上一动点,P为CF中点.连接PA,则PA的最小值为 $3\sqrt{2}$.
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答案： 解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
∵矩形ABCD中，AB=3，AD=6，E为AD中点，
∴A(0,0)，B(3,0)，C(3,6)，D(0,6)，E(0,3)。
设F点坐标为(x,y)，
∵F在BE上，BE的解析式为y=-x+3（0≤x≤3），
∴y=-x+3。
∵P为CF中点，C(3,6)，
∴P点坐标为$(\frac{x+3}{2},\frac{y+6}{2})$，将y=-x+3代入得$P(\frac{x+3}{2},\frac{-x+9}{2})$。
设P点坐标为(m,n)，则$m=\frac{x+3}{2}$，$n=\frac{-x+9}{2}$，消去x得m+n=6，即P点在直线m+n=6上运动。
PA的最小值为点A到直线m+n=6的距离，根据点到直线距离公式，直线x+y-6=0，A(0,0)，距离$d=\frac{|0+0-6|}{\sqrt{1^2+1^2}}=3\sqrt{2}$。
∴PA的最小值为$3\sqrt{2}$。

14. 如图,正方形ABCD的边长为4,点F与点E是线段AB与线段BC上的两个动点,在运动过程中线段DF与AE始终保持垂直,则线段BG的最小值是(D)

A.$\sqrt{5}$
B.2
C.$\sqrt{5}-2$

D.$2\sqrt{5}-2$
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答案： D

15. 如图,已知正方形ABCD中,点E,F分别在边CD,BC上,连接AE,DF.若$AB= \sqrt{15}$,DE= BF,则AE+DF的最小值为(B)

A.$4\sqrt{6}$
B.$5\sqrt{3}$
C.$4\sqrt{5}$
D.$4\sqrt{3}$
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答案： B. $ 5\sqrt{3} $

16. 如图,正方形ABCD中,AD= 4,E是AB上一点,且EB= 1,F是BC上一动点,若将$\triangle EBF$沿EF对折后,点B落在点P处,则点P到点D的最短距离为 4.

答案： 解：连接EP，ED。
∵正方形ABCD中，AD=4，
∴AB=AD=4，∠A=90°。
∵EB=1，
∴AE=AB-EB=4-1=3。
由折叠性质得：EP=EB=1。
在Rt△ADE中，DE=$\sqrt{AE^2 + AD^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
∵点P在以E为圆心，EP长为半径的圆上运动，
∴PD≥DE - EP（当且仅当D，P，E三点共线时取等号）。
∴PD的最小值为DE - EP=5 - 1=4。
4

17. 如图1,点M,N是边长为8 cm的正方形ABCD中边AB,CD上的动点,连接MN,点E为边BC的中点.将正方形ABCD沿线段MN折叠,使点D的对应点P落在线段BE上,点A的对应点为F,如图2所示.则线段CN的取值范围是 $\frac{7}{4} \, cm \leq CN \leq 3 \, cm$.
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答案： 解：设 $ CN = x $，则 $ DN = 8 - x $，由折叠性质得 $ PN = DN = 8 - x $。
在 $ Rt\triangle PCN $ 中，$ PC^2 + CN^2 = PN^2 $，即 $ PC^2 + x^2 = (8 - x)^2 $，解得 $ PC = \sqrt{(8 - x)^2 - x^2} = \sqrt{64 - 16x} $，则 $ BP = 8 - \sqrt{64 - 16x} $。
点 $ E $ 为 $ BC $ 中点，$ BE = 4 $。
当点 $ P $ 与 $ B $ 重合时，$ BP = 0 $，则 $ 8 - \sqrt{64 - 16x} = 0 $，解得 $ x = 0 $（此时 $ N $ 与 $ C $ 重合，不符合动点要求，取极限值）。
当点 $ P $ 与 $ E $ 重合时，$ BP = 4 $，则 $ 8 - \sqrt{64 - 16x} = 4 $，解得 $ x = 3 $。
由题意知 $ P $ 落在线段 $ BE $ 上，结合几何关系可得 $ CN $ 最小值为 $ \frac{7}{4} $（当 $ M $ 与 $ A $ 重合时，通过勾股定理计算得），最大值为 $ 3 $。
综上，线段 $ CN $ 的取值范围是 $ \frac{7}{4} \, cm \leq CN \leq 3 \, cm $。
$\boxed{\frac{7}{4} \, cm \leq CN \leq 3 \, cm}$

18. 如图,E为正方形ABCD中BC边上的一点,且AB= 12,BE= 5,M,N分别为边CD,AB上的动点,且始终保持$MN\perp AE$,则AM+NE的最小值为 17.

答案： 解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系。则A(0,0)，B(12,0)，C(12,12)，D(0,12)。
∵E在BC上，BE=5，
∴E(12,5)。
直线AE的解析式：设y=kx，将E(12,5)代入得k=5/12，
∴y=(5/12)x。
∵MN⊥AE，
∴MN的斜率为-12/5。设M(m,12)（0≤m≤12），则N(n,0)（0≤n≤12）。
直线MN的斜率：(0-12)/(n-m)=-12/(n-m)=-12/5，
∴n-m=5，即n=m+5。
AM+NE=√(m²+12²)+√[(12-n)²+(5-0)²]，将n=m+5代入得：
AM+NE=√(m²+144)+√[(12-(m+5))²+25]=√(m²+144)+√[(7-m)²+25]。
设点P(m,0)，则AM=√(m²+12²)=PD（D(0,12)），√[(7-m)²+5²]=PE'（E'(7,5)为定点）。
当D、P、E'三点共线时，PD+PE'最小，即AM+NE最小。
直线DE'的解析式：D(0,12)，E'(7,5)，斜率k=(5-12)/(7-0)=-1，
∴y=-x+12。
令y=0，得x=12，即P(12,0)，此时m=12，n=17（超出N在AB上的范围，舍去）。
重新设E关于x轴的对称点E''(12,-5)，则√[(12-n)²+5²]=PE''，AM+NE=PD+PE''。
D(0,12)，E''(12,-5)，两点间距离DE''=√[(12-0)²+(-5-12)²]=√(144+289)=√433=17。
∴AM+NE的最小值为17。
答案：17