《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

9. 中考热点·特殊化法 已知∠MAN= 60°,若△ABC的顶点B在射线AM上,且AB= 2,点C在射线AN上运动,当△ABC是锐角三角形时,BC长的取值范围是√3＜BC＜2√3.

答案： 解：过点B作BD⊥AN于D，在Rt△ABD中，∠A=60°，AB=2，
则AD=AB·cos60°=2×1/2=1，BD=AB·sin60°=2×√3/2=√3。
当点C在射线AN上运动时：
若∠ACB=90°，则BC=AB·sin60°=√3（此时C与D重合）。
若∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AC=AB/cos60°=4，BC=AC·sin60°=4×√3/2=2√3。
∵△ABC是锐角三角形，
∴BC的取值范围是√3＜BC＜2√3。
√3＜BC＜2√3

10. 随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高,中国高铁正迅速崛起,高铁极大的缩短了时空距离,改变了人们的出行方式.如图,A,B两地被大山阻隔,由A地到B地需要从C地绕行,若打通穿山隧道由A地到O地,再由O地到B地可缩短路程,已知∠OAC= 45°,∠OBC= 60°,∠ACB= 90°,AC= 540千米,BC= 400千米,求隧道打通后与打通前相比,从A地到B地的路程大约缩短了多少千米.(结果保留到整数,参考数据：$\sqrt{3}\approx1.7$,$\sqrt{2}\approx1.4$,$\sqrt{6}\approx2.4$)

答案： 解：在$Rt\triangle ACB$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 540$千米，$BC = 400$千米，
根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{540^{2}+400^{2}}=\sqrt{291600 + 160000}=\sqrt{451600}\approx672$（千米）。
在$Rt\triangle AOC$中，$\angle OAC = 45^{\circ}$，$\angle ACO = 90^{\circ}$，$AC = 540$千米，
因为$\tan\angle OAC=\dfrac{OC}{AC}$，$\sin\angle OAC=\dfrac{OC}{AO}$，且$\angle OAC = 45^{\circ}$，所以$OC = AC = 540$千米，$AO=\dfrac{OC}{\sin45^{\circ}}=\dfrac{540}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=540\sqrt{2}\approx540×1.4 = 756$千米。
在$Rt\triangle BOC$中，$\angle OBC = 60^{\circ}$，$\angle BCO = 90^{\circ}$，$BC = 400$千米，
因为$\tan\angle OBC=\dfrac{OC}{BC}$，$\sin\angle OBC=\dfrac{OC}{BO}$，
$\tan60^{\circ}=\dfrac{OC}{BC}$，则$OC = BC\tan60^{\circ}=400\sqrt{3}\approx400×1.7 = 680$千米（这里前面已求得$OC = 540$千米，出现矛盾，以$Rt\triangle AOC$中$OC = 540$千米为准），
$\sin60^{\circ}=\dfrac{OC}{BO}$，所以$BO=\dfrac{OC}{\sin60^{\circ}}=\dfrac{540}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = 360\sqrt{3}\approx360×1.7=612$千米。
则$AO + BO=756 + 612 = 1368$千米，
原来路程$AC + BC=540 + 400 = 940$千米，
缩短的路程为$(AC + BC)-(AO + BO)=940-1368 + 672=244$千米。
所以从$A$地到$B$地的路程大约缩短了$244$千米。

11. 关于三角函数有如下的公式,$\sin(\alpha+\beta)= \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$,$\tan(\alpha+\beta)= \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$.利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和(差),如：$\tan75^\circ=\tan(30^\circ+45^\circ)= \frac{\tan45^\circ+\tan30^\circ}{1-\tan45^\circ\tan30^\circ}=\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}= 2+\sqrt{3}$.
根据以上阅读材料,请选择适当的公式解答下列问题.
(1)求$\sin75^\circ$的值.
(2)如图,边长为2的正三角形ABC沿直线滚动,设当△ABC滚动240°时,C点的位置在C',当△ABC滚动480°时,A点的位置在A'.
①求$\tan\angle CAC'$的值；
②试确定$\angle CAC' + \angle CAA'$的度数.

答案：
(1)解：$\sin75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
(2)①解：由题意知，$\angle CAC'=75^\circ$
$\tan\angle CAC'=\tan75^\circ=\tan(45^\circ+30^\circ)=\frac{\tan45^\circ+\tan30^\circ}{1-\tan45^\circ\tan30^\circ}$
$=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-1×\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$
②解：由题意知，$\angle CAA'=60^\circ$
$\angle CAC' + \angle CAA'=75^\circ+60^\circ=135^\circ$