《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

11.（1）已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}$，$2x + y \neq 0$，求$\frac{x+y-3z}{2x+y}$的值.
（2）已知$\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=x$，求x的值.

答案： （1）解：设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}=k(k\neq0)$，则$x=2k$，$y=3k$，$z=5k$。
$\frac{x+y-3z}{2x+y}=\frac{2k + 3k - 3×5k}{2×2k + 3k}=\frac{5k - 15k}{4k + 3k}=\frac{-10k}{7k}=-\frac{10}{7}$
（2）解：当$a + b + c\neq0$时，由等比性质得：
$x=\frac{(a + b)+(b + c)+(c + a)}{a + b + c}=\frac{2(a + b + c)}{a + b + c}=2$
当$a + b + c=0$时，$a + b=-c$，则$x=\frac{a + b}{c}=\frac{-c}{c}=-1$
综上，$x=2$或$x=-1$

12. 已知△ABC和△DEF中，有$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}=\frac{2}{3}$，且△DEF和△ABC的周长之差为15厘米，求△ABC与△DEF的周长.

答案： 小明周长的解题过程无误，周长分别为30和45，所以选对应周长的选项（根据实际选项内容填写）。

13. 阅读下面的解题过程，然后解题.
题目：已知$\frac{x}{a-b}=\frac{y}{b-c}=\frac{z}{c-a}$（a，b，c互相不相等），求$x+y+z$的值.
解：设$\frac{x}{a-b}=\frac{y}{b-c}=\frac{z}{c-a}=k$，
则$x=k(a-b)$，$y=k(b-c)$，$z=k(c-a)$，
于是$x+y+z=k(a-b+b-c+c-a)=k\cdot0=0$.
依照上述方法解答下列问题：
已知$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}(x+y+z\neq0)$，求$\frac{x-y-z}{x+y+z}$的值.

答案： $-\frac{1}{3}$

14. 已知a，b，c均为非零的实数，且满足$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}$，求代数式$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$的值.

答案： 解：设$\frac{a+b - c}{c}=\frac{a - b + c}{b}=\frac{-a + b + c}{a}=k$，则：
$a + b - c = kc$，即$a + b=(k + 1)c$；
$a - b + c = kb$，即$a + c=(k + 1)b$；
$-a + b + c = ka$，即$b + c=(k + 1)a$。
三式相加得：$2(a + b + c)=(k + 1)(a + b + c)$。
情况一：若$a + b + c\neq0$，则$k + 1=2$，$k = 1$。
此时$a + b=2c$，$a + c=2b$，$b + c=2a$，
$\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{abc}=\frac{2c\cdot2a\cdot2b}{abc}=8$。
情况二：若$a + b + c=0$，则$a + b=-c$，$b + c=-a$，$c + a=-b$，
$\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{abc}=\frac{(-c)(-a)(-b)}{abc}=-1$。
综上，代数式的值为$8$或$-1$。