《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

9. 若顺次连接四边形的各边中点所得的小四边形是矩形,则原四边形一定是(D)
A.对角线相等的四边形
B.等腰梯形
C.菱形
D.对角线互相垂直的四边形

答案： 证明：设四边形ABCD的各边中点分别为E、F、G、H，连接AC、BD。
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，
∴EF//AC，EF=1/2AC；EH//BD，EH=1/2BD。
∵四边形EFGH是矩形，
∴EF⊥EH。
∵EF//AC，EH//BD，
∴AC⊥BD。
结论：原四边形一定是对角线互相垂直的四边形。
D

10. ▶中考热点•创新题型 如图,将平行四边形ABCD的边DC延长到点E,使CE= CD,连接AE,交BC于点F,连接BF,∠AFC= n∠D,当n= 2时,四边形ABEC是矩形.

答案： 2

11. 如图,□ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E是OC上一点,点F在BE延长线上,且EF= BE,EF与CD交于点G.
(1)求证：DF//AC.
(2)连接DE,CF,如果BF= 2AB,且G恰好是CD的中点,求证：四边形CFDE是矩形.

答案： 1. （1）
证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$OB = OD$（平行四边形的对角线互相平分）。
又因为$EF = BE$，所以在$\triangle BDF$中，$OE$是$\triangle BDF$的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，所以$OE// DF$，即$DF// AC$。
2. （2）
证明：
因为$DF// AC$，所以$\angle FDG=\angle ECG$，$\angle DFG = \angle CEG$。
又因为$G$是$CD$的中点，即$DG = CG$。
所以$\triangle DFG\cong\triangle CEG(AAS)$。
则$DF = CE$，又因为$DF// CE$，所以四边形$CFDE$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
因为$BF = 2AB$，$EF = BE$，所以$AB = BE$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，则$CD = BE$。
又因为$OB = OD$，$EF = BE$，所以$DE\perp BE$（等腰三角形三线合一），即$\angle DEC = 90^{\circ}$。
所以平行四边形$CFDE$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
综上，（1）得证$DF// AC$；（2）得证四边形$CFDE$是矩形。

12. 请阅读下列材料,完成相应的任务.
×年×月×日星期日
只用卷尺也能判断矩形
今天,我在一本数学课外书上看到一个有趣的问题.工人师傅在做门窗时,他是这样做的：首先利用卷尺(有刻度)测量两组对边的长度是否分别相等；其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等,以确认门窗是否是矩形.
我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形的呢？于是尝试验证.
已知：如图,在四边形ABCD中,AB= CD,AD= BC,AC= BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：……
任务：
(1)上述做法是依据了矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.
(2)补全材料中的证明过程.
证明：∵AB=CD，AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
∵AC=BD
∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）
(3)利用卷尺(有刻度)还能用另外一种方法判定四边形是矩形,试写出简要的测量方法.
测量四边形的三个内角，若三个角都是直角，则该四边形是矩形。

答案：
(1)对角线相等的平行四边形是矩形
(2)证明：
∵AB=CD，AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
∵AC=BD
∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）
(3)测量四边形的三个内角，若三个角都是直角，则该四边形是矩形。