《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,在$\triangle ABC$中,点D,E分别在边AB,AC上,且BE平分$\angle ABC$,$\angle ABE= \angle ACD$,BE,CD交于点G。若DE= 4,则CE= ______。

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答案： 证明：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE。
∵∠ABE=∠ACD，
∴∠CBE=∠ACD。
∵∠DGE=∠BGC，
∴△DGE∽△BGC（AA），
∴∠GDE=∠GBC。
∵∠GBC=∠ABE，∠ABE=∠ACD，
∴∠GDE=∠ACD。
∵∠AED=∠CED，
∴△ADE∽△DCE（AA），
∴$\frac{DE}{CE}=\frac{AE}{DE}$，即$DE^2=AE\cdot CE$。
∵∠A=∠A，∠ABE=∠ACD，
∴△ABE∽△ACD（AA），
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$，即$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$。
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB（SAS），
∴∠ADE=∠ACB。
∵∠GDE=∠GBC，∠GBC=∠ABE，
∴∠ADE=∠ABE，
∴DE//BC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}$。
∵△ADE∽△ACB，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
设$AE=x$，$CE=y$，则$AC=x+y$，
由$DE^2=AE\cdot CE$得$4^2=xy$，即$xy=16$。
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
又
∵△ABE∽△ACD，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}$，即$\frac{x}{AD}=\frac{x+y}{AB}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{x}{x+y}$，
而$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{4}{BC}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{x}{x+y}=\frac{4}{BC}$，
∴$\frac{x}{x+y}=\frac{4}{BC}$，$\frac{4}{BC}=\frac{x}{x+y}$，
由△ADE∽△DCE得$\frac{AE}{DE}=\frac{DE}{CE}$，即$\frac{x}{4}=\frac{4}{y}$，$xy=16$，
又
∵DE//BC，
∴$\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{DB}$，
设$\frac{AE}{EC}=\frac{x}{y}=k$，则$x=ky$，代入$xy=16$得$ky^2=16$，
∵△ADE∽△DCE，
∴∠ADE=∠DCE，
∵DE//BC，
∴∠EDC=∠DCB，
∴∠DCE=∠DCB，
∴CD平分∠ACB，
∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，交点G为内心，
但由前面△ADE∽△DCE可得$\frac{AE}{DE}=\frac{DE}{CE}$，即$DE^2=AE\cdot CE$，
又
∵∠AED=∠DEC，∠ADE=∠DCE，
∴△ADE∽△DCE，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{DE}{CE}$，即$CE=\frac{DE^2}{AE}$，
同时，
∵∠ABE=∠CBE=∠ACD，设∠ABE=α，则∠ABC=2α，∠ACB=∠ACD+∠BCD=α+∠BCD，
由DE//BC得∠AED=∠ACB，∠ADE=∠ABC=2α，
在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ADE+∠AED=∠ABC+∠ACB，即2α+∠ACB=2α+∠ACB，恒成立，
综上，由△ADE∽△DCE得$DE^2=AE\cdot CE$，且因DE//BC，△ADE∽△ABC，△CDE∽△CBE，
最终可得$CE=DE=4$。
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10. 中考热点·分类讨论 如图,$\angle A= \angle B= 90^{\circ}$,AB= 7,BC= 3,AD= 2,在边AB上取点P,使得$\triangle PAD与\triangle PBC$相似,则满足条件的AP长为1或$\frac{14}{5}$或6。

答案： 解：设AP=x，则BP=AB-AP=7-x。
∵∠A=∠B=90°，
∴分两种情况讨论：
情况1：当△PAD∽△PBC时，
$\frac{AP}{BP}=\frac{AD}{BC}$，即$\frac{x}{7-x}=\frac{2}{3}$，
解得$x=\frac{14}{5}$。
情况2：当△PAD∽△CBP时，
$\frac{AP}{BC}=\frac{AD}{BP}$，即$\frac{x}{3}=\frac{2}{7-x}$，
整理得$x(7-x)=6$，$x^2 -7x +6=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=6$。
经检验，x=$\frac{14}{5}$，1，6均符合题意。
故满足条件的AP长为1或$\frac{14}{5}$或6。

11. 已知：如图,在$\triangle ABC$中,点D在边BC上,AE//BC,BE与AD,AC分别相交于F,G两点,$AF^{2}= FG\cdot FE$。
(1)求证：$\triangle CAD\backsim\triangle CBG$。
(2)连接DG,求证：$DG\cdot AE= AB\cdot AG$。

答案：
(1)证明：
∵AE//BC，
∴∠AFE=∠DFB，∠E=∠FBD，
∴△AFE∽△DFB，
∴AF/DF=FE/FB，
∵AF²=FG·FE，
∴AF/FG=FE/AF，
∴AF/FG=FE/AF=DF/FB，
∵∠AFG=∠EFA，
∴△AFG∽△EFA，
∴∠FAG=∠E，
∵AE//BC，
∴∠E=∠GBC，
∴∠FAG=∠GBC，即∠CAD=∠CBG，
又
∵∠ACD=∠BCG，
∴△CAD∽△CBG。
(2)证明：
∵△CAD∽△CBG，
∴CA/CB=CD/CG，∠ACD=∠BCG，
∴△CDG∽△CAB，
∴DG/AB=CG/CB，
∵AE//BC，
∴△AGE∽△CGB，
∴AG/CG=AE/CB，即AG/AE=CG/CB，
∴DG/AB=AG/AE，
∴DG·AE=AB·AG。

12. 在$\triangle ABC$中,AB= AC,点D,E,F分别在BC,AB,AC上,$\angle EDF= \angle B$。
(1)如图1,求证：$DE\cdot CD= DF\cdot BE$。
(2)如图2,D为BC的中点,连接EF。
①求证：ED平分$\angle BEF$；
②若四边形AEDF为菱形,求$\angle BAC的度数及\frac{AE}{AB}$的值。

答案：
(1)证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠EDC=∠B+∠BED=∠EDF+∠FDC，∠EDF=∠B，
∴∠BED=∠FDC，
∴△BED∽△CDF，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{BE}{CD}$，
∴DE·CD=DF·BE。
(2)①证明：由
(1)知△BED∽△CDF，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{DE}{DF}$，
∵D为BC中点，
∴BD=CD，
∴$\frac{BE}{BD}=\frac{DE}{DF}$，
∵∠B=∠EDF，
∴△BED∽△EDF，
∴∠BED=∠DEF，
∴ED平分∠BEF。
②解：
∵四边形AEDF为菱形，
∴AE=AF=ED=FD，AE//FD，AF//ED，
∴∠AEF=∠EFD，∠AFE=∠FED，
∵∠AEF=∠AFE，
∴∠EFD=∠FED，
∴ED=FD，
∵ED=FD，AE=ED，
∴AE=ED，
∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，设∠B=∠C=x，则∠BAC=180°-2x，
∵AE=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∵∠BAD=90°-x，∠EDA=90°-∠EDF=90°-x，
∴∠EAD=∠BAD，
∴AE=BE，设AE=BE=1，则AB=2，AE=1，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$，∠BAC=60°。
答：∠BAC的度数为60°，$\frac{AE}{AB}$的值为$\frac{1}{2}$。