《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

7.如图,$\triangle ABC$是一张直角三角形彩色纸,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AC= 30\ cm$,$BC= 40\ cm$,$CD\perp AB$于点D. 将斜边上的高CD进行五等分,然后裁出4张宽度相等的长方形纸条. 则这4张纸条的面积和是576$cm^2$.
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答案： 576

8.▶中考热点•生活情境 有一块两直角边长分别为3 cm和4 cm的直角三角形铁皮,要利用它来裁剪一个正方形,有两种方法. 一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上,另两个顶点在两条直角边上,如图1；另一种是一组邻边在直角三角形的两直角边上,另一个顶点在斜边上,如图2. 哪种情形下的正方形面积更大？
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答案： 解：
图2情形：
设正方形边长为$x\,cm$，则$AD=4-x$，$BF=3-x$。
由$\triangle ADE \sim \triangle EFB$，得$\frac{AD}{EF}=\frac{DE}{BF}$，即$\frac{4-x}{x}=\frac{x}{3-x}$。
解得$x=\frac{12}{7}\,cm$，面积$S_2=\left(\frac{12}{7}\right)^2=\frac{144}{49}\,cm^2$。
图1情形：
斜边$AB=5\,cm$，斜边上的高$h=\frac{12}{5}\,cm$。设正方形边长为$y\,cm$，则$\triangle ADE \sim \triangle ACB$，$\frac{h-y}{h}=\frac{y}{AB}$，即$\frac{\frac{12}{5}-y}{\frac{12}{5}}=\frac{y}{5}$。
解得$y=\frac{60}{37}\,cm$，面积$S_1=\left(\frac{60}{37}\right)^2=\frac{3600}{1369}\,cm^2$。
比较得$\frac{144}{49} ＞ \frac{3600}{1369}$，故图2情形下正方形面积更大。
结论：图2情形下的正方形面积更大。

9.如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AC= BC$,P为$\triangle ABC$内部一点,且$\angle APB= \angle BPC= 135^{\circ}$. (1)求证：$\triangle PAB\backsim\triangle PBC$. (2)求证：$PA= 2PC$. (3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为$h_1,h_2,h_3$,求证：$h_1^2= h_2\cdot h_3$.
视频讲解

答案：
(1)证明：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=BC$，$\therefore\angle ABC=45^{\circ}$，即$\angle ABP+\angle PBC=45^{\circ}$。
在$\triangle APB$中，$\angle APB=135^{\circ}$，$\therefore\angle PAB+\angle ABP=45^{\circ}$，$\therefore\angle PAB=\angle PBC$。
$\because\angle APB=\angle BPC=135^{\circ}$，$\therefore\triangle PAB\backsim\triangle PBC$。
(2)证明：$\because\triangle PAB\backsim\triangle PBC$，$\therefore\frac{PA}{PB}=\frac{PB}{PC}=\frac{AB}{BC}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$AC=BC$，$\therefore AB=\sqrt{2}BC$，$\therefore\frac{AB}{BC}=\sqrt{2}$，$\therefore PB=\sqrt{2}PC$，$PA=\sqrt{2}PB$，$\therefore PA=\sqrt{2}×\sqrt{2}PC=2PC$。
(3)证明：过点$P$作$PD\perp BC$于$D$，$PE\perp AC$于$E$，$PF\perp AB$于$F$，则$PD=h_2$，$PE=h_3$，$PF=h_1$。
$\because\angle ACB=90^{\circ}$，$\therefore$四边形$CEPD$是矩形，$\therefore CE=PD=h_2$，$CD=PE=h_3$。
$\because AC=BC$，设$AC=BC=a$，则$AB=\sqrt{2}a$，$\therefore BE=BC-CE=a-h_2$，$AE=AC-CE=a-h_3$。
在$Rt\triangle PDC$中，$\angle PCD=45^{\circ}$，$\therefore PC=\sqrt{2}h_2$。
同理，$PA=\sqrt{2}h_3$，由
(2)得$PA=2PC$，$\therefore\sqrt{2}h_3=2\sqrt{2}h_2$，$\therefore h_3=2h_2$。
$\because\triangle PAB\backsim\triangle PBC$，$\therefore\frac{h_1}{h_2}=\frac{AB}{BC}=\sqrt{2}$，$\therefore h_1=\sqrt{2}h_2$，$\therefore h_1^2=2h_2^2=h_2\cdot h_3$。