《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

9. ▶中考热点•思维训练 如图,菱形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,AC+BD= 10,菱形的面积是12,则菱形ABCD的周长为$4\sqrt{13}$.

答案： $4\sqrt{13}$

10. 如图,菱形ABCD的边长为1,BD= 1,E,F分别是边AD,CD上的两个动点,且满足AE+CF= 1,设△BEF的面积为S,则S的取值范围是[5√3/16, √3/2].

答案： 解：
步骤1：菱形基本性质与坐标系建立
菱形ABCD边长为1，BD=1，连接AC交BD于O。
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴BO=OD=1/2，AO=OC=√(AB²-BO²)=√(1²-(1/2)²)=√3/2。
以O为原点，BD为x轴，AC为y轴建立坐标系，得：
A(0, √3/2)，B(-1/2, 0)，C(0, -√3/2)，D(1/2, 0)。
步骤2：动点坐标表示
设AE=t（0≤t≤1），则CF=1-t。
AD：由A(0, √3/2)到D(1/2, 0)，方程为y=-√3x+√3/2，
E在AD上，AE=t，AD长1，
∴E(t·(1/2), √3/2 - t·√3/2)=(t/2, √3(1-t)/2)。
CD：由C(0, -√3/2)到D(1/2, 0)，方程为y=√3x - √3/2，
F在CD上，CF=1-t，CD长1，
∴F((1-t)/2, √3(1-t)/2 - √3/2)=((1-t)/2, -√3t/2)。
步骤3：△BEF面积计算
B(-1/2, 0)，E(t/2, √3(1-t)/2)，F((1-t)/2, -√3t/2)。
面积公式S=1/2|x_B(y_E - y_F) + x_E(y_F - y_B) + x_F(y_B - y_E)|，代入得：
S=1/2|(-1/2)[√3(1-t)/2 - (-√3t/2)] + (t/2)[-√3t/2 - 0] + [(1-t)/2][0 - √3(1-t)/2]|
化简得S=√3/4(3t² - 3t + 2)。
步骤4：S的取值范围
S=√3/4(3t² - 3t + 2)，t∈[0,1]。
二次函数3t² - 3t + 2开口向上，对称轴t=1/2，
t=1/2时，最小值3(1/2)² - 3(1/2) + 2=5/4，S_min=√3/4×5/4=5√3/16；
t=0或t=1时，最大值3
(0) - 3
(0) + 2=2，S_max=√3/4×2=√3/2。
结论：S的取值范围是[5√3/16, √3/2]。
[5√3/16, √3/2]

11. 如图,将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠,使点C与点A重合,点D落在点G处.
(1)求证：△ABE≌△AGF.
(2)连接AC,若平行四边形ABCD的面积为8,EC/BC= 2/3,求AC·EF的值.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，∠BAD=∠BCD，
∵将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，
∴AG=CD，∠G=∠D，∠GAF=∠ECD，
∵AB=CD，
∴AB=AG，
∵∠BAD=∠BCD，∠GAF=∠ECD，
∴∠BAE=∠GAF，
在△ABE和△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠B=∠G\\ AB=AG\\ ∠BAE=∠GAF\end{array}\right. $，
∴△ABE≌△AGF(ASA)；
(2)解：连接CF，AC交EF于点O，
∵将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，
∴AC⊥EF，AO=CO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠OAF=∠OCE，
在△AOF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠OAF=∠OCE\\ AO=CO\\ ∠AOF=∠COE\end{array}\right. $，
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴AF=CE，OF=OE，
∵AD=BC，AF=CE，
∴DF=BE，
∵△ABE≌△AGF，
∴BE=GF，AE=AF，
∵AF=CE，
∴AE=CE，
∵$\frac {EC}{BC}=\frac {2}{3}$，
设EC=2x，则BC=3x，AE=2x，
∵AD//BC，AE=CE=2x，BC=3x，
∴BE=BC-EC=3x-2x=x，
∵平行四边形ABCD的面积为8，
∴AB·h=8（h为平行四边形ABCD的高），
∵S_{△AEC}=$\frac {1}{2}$·EC·h=$\frac {1}{2}$·2x·h=xh，
S_{△ABE}=$\frac {1}{2}$·BE·h=$\frac {1}{2}$·x·h=$\frac {1}{2}$xh，
∵S_{△ABC}=$\frac {1}{2}$·BC·h=$\frac {1}{2}$·3x·h=$\frac {3}{2}$xh，
∵S_{△AEC}+S_{△ABE}=S_{△ABC}，
∴xh+$\frac {1}{2}$xh=$\frac {3}{2}$xh，符合题意，
∵S_{△AEC}=$\frac {1}{2}$·AC·OE= xh，
∵平行四边形ABCD的面积为BC·h=3x·h=8，
∴xh=$\frac {8}{3}$，
∴$\frac {1}{2}$·AC·OE=$\frac {8}{3}$，
∵OF=OE，
∴EF=2OE，
∴$\frac {1}{2}$·AC·$\frac {1}{2}$EF=$\frac {8}{3}$，
∴$\frac {1}{4}$·AC·EF=$\frac {8}{3}$，
∴AC·EF=$\frac {32}{3}$．
答：AC·EF的值为$\frac {32}{3}$．

12. 如图,在边长为10的菱形ABCD中,对角线BD= 16,O是直线BD上的动点,OE⊥AB于点E,OF⊥AD于点F.
(1)对角线AC的长是12,菱形ABCD的面积是96.
(2)如图1,当点O在对角线BD上运动时,OE+OF的值是否是定值？请说明理由.
(3)如图2,当点O在对角线BD的延长线上时,OE+OF的值与(2)中结论相比是否会发生变化？若不变,请予以证明；若变化,请探究OE,OF之间的数量关系.


(2)是定值，理由如下：
连接AO，
∵菱形ABCD的边长为10，面积为96，
∴S△ABD=1/2S菱形ABCD=48，
∵S△ABD=S△ABO+S△ADO=1/2AB·OE+1/2AD·OF，AB=AD=10，
∴48=1/2×10·OE+1/2×10·OF，
∴OE+OF=48/5，即OE+OF的值是定值。
(3)会发生变化，OE-OF=48/5，证明如下：
连接AO，
∵S△ABD=S△ABO-S△ADO=1/2AB·OE-1/2AD·OF，AB=AD=10，S△ABD=48，
∴48=1/2×10·OE-1/2×10·OF，
∴OE-OF=48/5。

答案：
(1)12；96
(2)是定值，理由如下：
连接AO，
∵菱形ABCD的边长为10，面积为96，
∴S△ABD=1/2S菱形ABCD=48，
∵S△ABD=S△ABO+S△ADO=1/2AB·OE+1/2AD·OF，AB=AD=10，
∴48=1/2×10·OE+1/2×10·OF，
∴OE+OF=48/5，即OE+OF的值是定值。
(3)会发生变化，OE-OF=48/5，证明如下：
连接AO，
∵S△ABD=S△ABO-S△ADO=1/2AB·OE-1/2AD·OF，AB=AD=10，S△ABD=48，
∴48=1/2×10·OE-1/2×10·OF，
∴OE-OF=48/5。