《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

1. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,若菱形ABCD的面积是12,则△AOB的面积为(A)

A.3
B.6
C.24
D.48

答案： A

2. 如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,若AB= 13,AC= 10,则该菱形的面积为(B)

A.65
B.120
C.130
D.240

答案： B

3. 如图,四边形ABCD是菱形,CD= 5,BD= 8,AE⊥BC于点E,则AE的长是(24/5)

A.24/5
B.6
C.48/5
D.12

答案： 解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=BC=5，AC⊥BD，OB=OD=BD/2=4。
在Rt△BOC中，OC=√(BC²-OB²)=√(5²-4²)=3，
∴AC=2OC=6。
菱形ABCD面积=BC·AE=AC·BD/2，
即5AE=6×8/2，
解得AE=24/5。
A

4. 如图,四边形ABCD是菱形,O是两条对角线的交点,过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分. 当菱形的两条对角线的长分别为6和8时,阴影部分的面积为12.

答案： 12

5. ▶中考热点•转化思想 如图,在菱形ABCD中,P是对角线AC上一动点,过点P作PE⊥BC于点E,PF⊥AB于点F. 若菱形ABCD的周长为24,面积为24,则PE+PF的值为4.

答案： 解：
∵菱形ABCD的周长为24，
∴边长AB=BC=24÷4=6。
连接BP，
∵S_菱形ABCD=24，AC为对角线，
∴S_△ABC=S_菱形ABCD÷2=12。
∵S_△ABC=S_△ABP+S_△CBP，
S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB·PF，S_△CBP=$\frac{1}{2}$BC·PE，AB=BC=6，
∴12=$\frac{1}{2}$×6·PF+$\frac{1}{2}$×6·PE，
即12=3(PF+PE)，
∴PE+PF=4。
4

6. 如图,在△ABC中,AB= AC,分别以C,B为圆心,取AB的长为半径作弧,两弧交于点D. 连接BD,AD. 若∠ABD= 130°,则∠CAD= ______.

25°

答案： 解：由题意得，BD=AB，CD=AB。
∵AB=AC，
∴BD=AC，CD=AB。
∴四边形ABDC是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
∴AB//CD，
∴∠ABD+∠BDC=180°。
∵∠ABD=130°，
∴∠BDC=50°。
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴∠BAC=∠BDC=50°。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=(180°-50°)/2=65°。
∵AB//CD，
∴∠ABC=∠BCD=65°。
∵CD=AB=AC，
∴∠CAD=∠ADC。
在△ACD中，∠CAD+∠ADC+∠ACD=180°，∠ACD=∠ACB+∠BCD=65°+65°=130°，
∴∠CAD=(180°-130°)/2=25°。
25°

7. 如图,两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起,交叉形成的锐角为60°,则重合部分构成的四边形ABCD的周长为8√3cm.

答案： 解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F。
∵纸条宽度均为3cm，
∴AE=AF=3cm。
∵纸条交叉叠放，
∴AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵S□ABCD=BC·AE=CD·AF，AE=AF，
∴BC=CD，
∴□ABCD是菱形，即AB=BC=CD=DA。
在Rt△ABE中，∠B=60°，AE=3cm，
sin60°=AE/AB，
∴AB=AE/sin60°=3/(√3/2)=2√3 cm。
∴菱形ABCD周长=4AB=4×2√3=8√3 cm。
8√3

8. 如图,在四边形ABCD中,AB//CD,过点D作∠ADC的角平分线,交AB于点E,连接AC,交DE于点O,连接CE,AD//CE.
(1)求证：四边形AECD是菱形.
(2)若AD= 10,△ACD的周长为36,求菱形AECD的面积.

答案： （1）证得四边形$AECD$是菱形；
（2）96。