《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

1. 求证:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边的对应比相等,那么这两个三角形相似.
已知:如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C= ∠C'= 90°,$\frac{AB}{A'B'}= \frac{AC}{A'C'}$.
求证:Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.

答案： 证明过程如上述解析，可得出$Rt\triangle ABC\sim Rt\triangle A'B'C'$ 。（本题为证明题，无选择题选项）

2. 如图,在△ABC中,DE//BC分别交AC,AB于点D,E,EF//AC交BC于点F,$\frac{AE}{BE}= \frac{2}{5}$,BF= 8,则DE的长为(A)

A.$\frac{16}{5}$
B.$\frac{16}{7}$
C.2
D.3

答案： A

3. 如图,D,E分别是△ABC边AB,AC上的点,∠ADE= ∠ACB,若AD= 2,DB= 7,EC= 3,则AE的长是(B)

A.$\frac{6}{7}$
B.3
C.4
D.$\frac{14}{3}$

答案： B

4. 如图,在菱形ABCD中,E为CD延长线上一点,连接BE,交AD于点F,∠AEB= ∠C.
(1)求证:△ABE∽△BEC.
(2)若AE= 4,BE= 8,求CE的长.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，AB//CD。
∵AB//CD，
∴∠ABE=∠BEC。
∵∠AEB=∠C，∠A=∠C，
∴∠AEB=∠A。
在△ABE和△BEC中，
∠ABE=∠BEC，∠AEB=∠C，
∴△ABE∽△BEC。
(2)解：
∵△ABE∽△BEC，
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{BE}{EC}$。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC。
∵∠AEB=∠A，
∴AB=BE=8，
∴BC=8。
∵AE=4，BE=8，
∴$\frac{4}{8}=\frac{8}{EC}$，
解得EC=16。

5. 如图,点D是△ABC外一点,连接AD,BD,CD,AB与CD交于点O,已知AE·BD= AD·CE,∠ADB+∠AED= 180°.
(1)求证:△DAB∽△EAC.
(2)若AC= 3.5,BD= 1.4,OA= 3,求OD的长.

答案：
(1)证明：
∵AE·BD=AD·CE，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{BD}{CE}$。
∵∠ADB+∠AED=180°，∠AEC+∠AED=180°，
∴∠ADB=∠AEC。
∴△DAB∽△EAC。
(2)解：
∵△DAB∽△EAC，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$。
∵$\frac{AD}{AE}=\frac{BD}{CE}$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}$，即$\frac{AB}{3.5}=\frac{1.4}{CE}$，
又由△DAB∽△EAC得∠DAB=∠EAC，
∴∠DAO=∠BAE。
∵∠AOD=∠BOE，
∴△AOD∽△BOE（此处疑似原题条件或图形中E点位置影响，按相似三角形性质及已知条件推导，假设通过比例关系$\frac{OA}{OD}=\frac{AC}{BD}$），
$\frac{OA}{OD}=\frac{AC}{BD}$，即$\frac{3}{OD}=\frac{3.5}{1.4}$，
解得OD=1.2。