《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

8. 如图,将△ABC以点A为位似中心放大2倍得到$△AB_1C_1,$则点C的对应点$C_1$的坐标是 (D)

A.(1,4)
B.(-3,-4)
C.(-1,-4)或(1,4)

D.(1,4)或(-3,-4)
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答案： D

9. 如图,平面直角坐标系中,点A(2,0),点B(1,2),点C(-1,1),以点A为位似中心,把△ABC在点A同侧按相似比1∶3放大,放大后的图形记作$△AB_1C_1,$则点$C_1$的坐标为 (D)

A.(-10,4)
B.(-7,4)
C.(-10,3)
D.(-7,3)
]

答案： D

10. 如图,在正方形网格中,△ABC的三个顶点都在格点上,点A,B,C的坐标分别为(-2,4),(-2,0),(-4,1),结合所给的平面直角坐标系解答下列问题.
(1)画出将△ABC绕O点逆时针旋转90°得到的$△A_1B_1C_1.$
(2)以点P(-1,1)为位似中心,在△ABC的异侧作位似变换,且使△ABC的面积扩大为原来的4倍,得到$△A_2B_2C_2,$并写出点$A_2$的坐标.
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答案： 1. （1）
对于点$A(-2,4)$，绕$O$点逆时针旋转$90^{\circ}$：
根据旋转公式$\begin{cases}x'=-y\\y' = x\end{cases}$（设原坐标为$(x,y)$，旋转后坐标为$(x',y')$），$A(-2,4)$旋转后$A_1(-4, - 2)$。
对于点$B(-2,0)$，绕$O$点逆时针旋转$90^{\circ}$：
由$\begin{cases}x'=-y\\y' = x\end{cases}$，$B(-2,0)$旋转后$B_1(0,-2)$。
对于点$C(-4,1)$，绕$O$点逆时针旋转$90^{\circ}$：
由$\begin{cases}x'=-y\\y' = x\end{cases}$，$C(-4,1)$旋转后$C_1(-1,-4)$。
然后根据$A_1(-4,-2)$，$B_1(0,-2)$，$C_1(-1,-4)$画出$\triangle A_1B_1C_1$。
2. （2）
因为$\triangle ABC$与$\triangle A_2B_2C_2$位似，且$S_{\triangle A_2B_2C_2}=4S_{\triangle ABC}$，根据位似图形面积比$S_1:S_2 = k^{2}$（$k$为位似比），可得$k = 2$。
设点$A(-2,4)$关于$P(-1,1)$的对应点$A_2(x,y)$。
根据位似变换公式：若$P(x_0,y_0)$为位似中心，$A(x_1,y_1)$，$A_2(x_2,y_2)$，则$x_0=\frac{x_1 + \lambda x_2}{1+\lambda}$，$y_0=\frac{y_1+\lambda y_2}{1 + \lambda}$（这里$\lambda=-2$）。
对于$x$坐标：$-1=\frac{-2-2x}{1 - 2}$，即$-1×(-1)=-2 - 2x$，$1=-2-2x$，$2x=-3$，$x = 0$。
对于$y$坐标：$1=\frac{4-2y}{1 - 2}$，即$1×(-1)=4-2y$，$-1 = 4-2y$，$2y=5$，$y=-2$。
所以点$A_2$的坐标为$(0,-2)$。

11. 如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为1∶3,点A,B,E在x轴上,若正方形BEFG的边长为5,则C点坐标为$(\frac{25}{6},\frac{5}{3})$.
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答案： 解：设正方形ABCD的边长为$a$。
因为正方形ABCD与正方形BEFG的相似比为$1:3$，正方形BEFG的边长为5，所以$\frac{a}{5}=\frac{1}{3}$，解得$a = \frac{5}{3}$。
设点$B$的坐标为$(b,0)$，则点$E$的坐标为$(b + 5,0)$。
因为以原点$O$为位似中心，相似比为$1:3$，所以点$B$与点$E$是对应点，可得$\frac{OB}{OE}=\frac{1}{3}$，即$\frac{|b|}{|b + 5|}=\frac{1}{3}$。
由图可知点$B$、$E$在$x$轴正半轴，$b＞0$，$b + 5＞0$，则$\frac{b}{b + 5}=\frac{1}{3}$，解得$b=\frac{5}{2}$。
所以点$B$的坐标为$(\frac{5}{2},0)$，点$C$的横坐标为$\frac{5}{2}+\frac{5}{3}=\frac{25}{6}$，纵坐标为$\frac{5}{3}$，则$C$点坐标为$(\frac{25}{6},\frac{5}{3})$。
$(\frac{25}{6},\frac{5}{3})$

12. 易错题 如图,正方形ABCD和正方形OEFG中,点A和点F的坐标分别为(3,2),(-1,-1),则两个正方形的位似中心的坐标是($\frac{1}{3}$,0)或(-3,-4).

答案： ($\frac{1}{3}$,0)或(-3,-4)

13. 如图,△ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(-2,2),B(-1,0),C(0,1)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).
(1)画出△ABC关于y轴的轴对称图形$△A_1B_1C_1.$
(2)以点O为位似中心,在网格内画出所有符合条件的$△A_2B_2C_2,$使$△A_2B_2C_2$与$△A_1B_1C_1$位似,且位似比为2∶1.
(3)求$△A_1B_1C_1$与$△A_2B_2C_2$的面积比.
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答案：
(1) 如图所示，△A₁B₁C₁即为所求。（A₁(2,2)，B₁(1,0)，C₁(0,1)）
(2) 如图所示，△A₂B₂C₂和△A₂'B₂'C₂'即为所求。（△A₂B₂C₂各顶点坐标：A₂(4,4)，B₂(2,0)，C₂(0,2)；△A₂'B₂'C₂'各顶点坐标：A₂'(-4,-4)，B₂'(-2,0)，C₂'(0,-2)）
(3) 1:4