《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

1. 已知$x_1,x_2是一元二次方程x^2+2x -k -1= 0$的两根,且$x_1x_2= -3$,则$k$的值为(B)
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： B

2. 已知$2+\sqrt{3}是关于x的方程x^2 -4x +c= 0$的一个根,则方程的另一个根与$c$的值分别是(A)
A.$2-\sqrt{3},1$
B.$-6-\sqrt{3},15-8\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}-2,-1$
D.$2+\sqrt{3},7+4\sqrt{3}$

答案： A

3. 关于$x的方程x^2+mx -2n= 0的两根之和为-2$,两根之积为$1$,则$m +n$的值为$\frac{3}{2}$.

答案： 解：设方程$x^2 + mx - 2n = 0$的两根为$x_1$，$x_2$。
由根与系数的关系得：
$x_1 + x_2 = -m$，$x_1x_2 = -2n$。
已知两根之和为$-2$，两根之积为$1$，则：
$-m = -2$，解得$m = 2$；
$-2n = 1$，解得$n = -\frac{1}{2}$。
所以$m + n = 2 + (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$。
$\frac{3}{2}$

4. 已知关于$x的方程2x^2+6x +c= 0$的一个根是另一个根的2倍,则$c$的值为4.

答案： 解：设方程的一个根为$x_1$，另一个根为$x_2$，且$x_1 = 2x_2$。
对于一元二次方程$2x^2 + 6x + c = 0$，根据根与系数的关系：
$x_1 + x_2 = -\frac{6}{2} = -3$，$x_1x_2 = \frac{c}{2}$。
将$x_1 = 2x_2$代入$x_1 + x_2 = -3$，得：
$2x_2 + x_2 = -3$
$3x_2 = -3$
$x_2 = -1$
则$x_1 = 2x_2 = 2×(-1) = -2$。
所以$x_1x_2 = (-2)×(-1) = 2$，即$\frac{c}{2} = 2$，解得$c = 4$。
$4$

5. 关于$x的一元二次方程x^2-(2k -3)x +k^2 +1= 0有两个不相等的实数根x_1,x_2$.
(1)求$k$的取值范围.
(2)是否存在实数$k$,使两根互为相反数？若存在,求出$k$的值;若不存在,请说明理由.

答案：
(1) $k ＜ \frac{5}{12}$
(2) 不存在

6. 若实数$x_1,x_2满足x_1 +x_2= 3,x_1 \cdot x_2= 2$,则下列一元二次方程以$x_1,x_2$为根的是(A)
A.$x^2 -3x +2= 0$
B.$x^2 +3x -2= 0$
C.$x^2 +3x +2= 0$
D.$x^2 -3x -2= 0$

答案： A

7. 已知一元二次方程的两根分别是3和0,则这个一元二次方程是(D)
A.$x^2 +2x -15= 0$
B.$x^2 +3x= 0$
C.$x^2 -9= 0$
D.$x^2 -3x= 0$

答案： D

8. 以$1+\sqrt{7}和1-\sqrt{7}$为根的一元二次方程是$x^2 - 2x - 6 = 0$.

答案： $x^2 - 2x - 6 = 0$

9. 已知一元二次方程$p^2-\sqrt{3}p -3= 0,q^2-\sqrt{3}q -3= 0(q≠p)$,则$p +q$的值为(B)
A.$-\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$-3$
D.$3$

答案： B

10. ▶易错题 如果实数$a,b满足a^2 +2a= 2,b^2 -2b= 2$,且$a +b≠0$,则$ab$的值为C.

答案： C

11. 已知实数$a,b分别满足a^2 -6a +4= 0,b^2 -6b +4= 0$,求$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值.

答案： 解：分两种情况讨论：
当$a = b$时，$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=1 + 1=2$；
当$a\neq b$时，由题意知$a,b$是方程$x^{2}-6x + 4=0$的两个根，
根据根与系数的关系，得$a + b=6$，$ab = 4$，
$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}=\frac{(a + b)^{2}-2ab}{ab}=\frac{6^{2}-2×4}{4}=\frac{36 - 8}{4}=\frac{28}{4}=7$。
综上，$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值为$2$或$7$。