《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

8. ▶易错题 如果恰好只有一个实数a是方程$(k^{2}-9)x^{2}-2(k+1)x+1=0$的根,则k的值为3，-3，-5.

答案： $3$，$-3$，$-5$

9. 若关于x的一元二次方程$-x^{2}+4x-t=0$(t为实数)在$1＜x＜5$的范围内有解,则t的取值范围是$-5＜t\leq4$.

答案： $-5＜t\leq4$

10. 关于x的一元二次方程$x^{2}+px-\frac{1}{2}q-1=0$.若$p=2,q=-2$,则原方程有两个不相等（选填“相等”或“不相等”）的实数根;若原方程无实数根,则$p+q$的取值范围是$p + q＜-\frac{3}{2}$.

答案： 解：当$p = 2$，$q=-2$时，原方程为$x^{2}+2x - \frac{1}{2}×(-2)-1=0$，即$x^{2}+2x=0$。
$\Delta = 2^{2}-4×1×0=4＞0$，所以原方程有两个不相等的实数根。
原方程$x^{2}+px-\frac{1}{2}q - 1=0$无实数根时，$\Delta = p^{2}-4×1×(-\frac{1}{2}q - 1)=p^{2}+2q + 4＜0$。
$p^{2}+2q + 4＜0$可变形为$2q＜-p^{2}-4$，即$q＜-\frac{1}{2}p^{2}-2$。
$p + q ＜ p-\frac{1}{2}p^{2}-2=-\frac{1}{2}p^{2}+p - 2$，对于二次函数$y = -\frac{1}{2}p^{2}+p - 2$，其最大值为$-\frac{1}{2}×(1)^{2}+1 - 2=-\frac{3}{2}$（当$p = 1$时取得），所以$p + q＜-\frac{3}{2}$。
不相等；$p + q＜-\frac{3}{2}$

11. ▶中考热点•新定义 定义:如果一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)$满足$a+b+c=0$.那么我们称这个方程为“凤凰方程”,已知$ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)$是“凤凰方程”,且有两个相等的实数根,有下列结论:①$a=c$;②$a=b$;③$b=c$;④$a=b=c$.正确的是①.（选填序号）

答案： ①

12. 关于x的一元二次方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+5=0$有两个实数根.
(1)求m的取值范围.
(2)如果等腰三角形ABC的两边是这个方程的两根,且腰长是7,求这个三角形的周长.

答案：
(1)解：
∵方程有两个实数根，
∴$\Delta =[-2(m+1)]^{2}-4×1×(m^{2}+5)\geq0$
$4(m^{2}+2m+1)-4m^{2}-20\geq0$
$4m^{2}+8m+4-4m^{2}-20\geq0$
$8m-16\geq0$
$8m\geq16$
$m\geq2$
(2)解：①当腰长7为方程的一根时，
将$x=7$代入方程得：$7^{2}-2(m+1)×7+m^{2}+5=0$
$49-14(m+1)+m^{2}+5=0$
$m^{2}-14m-14+54=0$
$m^{2}-14m+40=0$
$(m-4)(m-10)=0$
$m_{1}=4$，$m_{2}=10$
当$m=4$时，方程为$x^{2}-10x+21=0$，
解得$x_{1}=3$，$x_{2}=7$，
三角形三边长为7，7，3，周长为$7+7+3=17$
当$m=10$时，方程为$x^{2}-22x+105=0$，
解得$x_{1}=7$，$x_{2}=15$，
∵$7+7=14\lt15$，不能构成三角形，舍去
②当方程两根为腰时，$\Delta =0$，由
(1)知$m=2$，
方程为$x^{2}-6x+9=0$，解得$x_{1}=x_{2}=3$，
∵$3+3=6\lt7$，不能构成腰长为7的三角形，舍去
综上，三角形周长为17

13. ▶中考热点•材料阅读 某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后,发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况,还可以解决其他问题.下面是该学习小组收集的素材,请根据素材帮助他们完成相应任务：
|关于根的判别式的探究|
|----|
|素材|对于一个关于x的二次三项式$ax^{2}+bx+c(a\neq0)$,利用根的判别式可以求该多项式的最值.比如:求$x^{2}+2x+3$最小值,令$y=x^{2}+2x+3$,则$x^{2}+2x+3-y=0$,则$b^{2}-4ac=4-4(3-y)=-8+4y\geqslant0$,可解得$y\geqslant2$,从而确定$x^{2}+2x+3$的最小值为2.这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法.|
|问题解决|
|任务1|感受新知:用判别式法求$3x^{2}+4x-2$的最小值.|
|任务2|探索新知:若关于x的二次三项式$x^{2}-ax+3$(a为常数)的最小值为-1,求a的值;|
|任务3|应用新知:利用已有知识经验,求证:周长为a的矩形中,正方形的面积最大.|

答案： 任务1
解：令$y = 3x^2 + 4x - 2$，则$3x^2 + 4x - (2 + y) = 0$。
$\Delta = 4^2 - 4 × 3 × [-(2 + y)] = 16 + 12(2 + y) = 16 + 24 + 12y = 40 + 12y$。
由$\Delta \geq 0$得$40 + 12y \geq 0$，解得$y \geq -\frac{10}{3}$。
$\therefore 3x^2 + 4x - 2$的最小值为$-\frac{10}{3}$。
任务2
解：令$y = x^2 - ax + 3$，则$x^2 - ax + (3 - y) = 0$。
$\Delta = (-a)^2 - 4 × 1 × (3 - y) = a^2 - 12 + 4y$。
由题意知最小值$y = -1$，此时$\Delta = 0$，即$a^2 - 12 + 4(-1) = 0$。
化简得$a^2 - 16 = 0$，解得$a = \pm 4$。
任务3
证明：设矩形一边长为$x$，则另一边长为$\frac{a}{2} - x$，面积$S = x\left(\frac{a}{2} - x\right) = -x^2 + \frac{a}{2}x$。
令$y = -x^2 + \frac{a}{2}x$，则$x^2 - \frac{a}{2}x + y = 0$。
$\Delta = \left(-\frac{a}{2}\right)^2 - 4 × 1 × y = \frac{a^2}{4} - 4y$。
由$\Delta \geq 0$得$\frac{a^2}{4} - 4y \geq 0$，解得$y \leq \frac{a^2}{16}$。
当$\Delta = 0$时，$x = \frac{\frac{a}{2}}{2} = \frac{a}{4}$，此时另一边长也为$\frac{a}{4}$，即矩形为正方形。
$\therefore$周长为$a$的矩形中，正方形面积最大。