《2025年优课堂给力A加九年级数学全一册北师大版》

1. 已知抛物线$y= ax^{2}+bx+c过(1,-1)$,$(2,-4)和(0,4)$三点,那么a,b,c的值分别是(D)
A.$a= -1$,$b= -6$,$c= 4$
B.$a= 1$,$b= -6$,$c= -4$
C.$a= -1$,$b= -6$,$c= -4$
D.$a= 1$,$b= -6$,$c= 4$

答案： D

2. 如表所示,则x与y的关系式为(B)

A.$y= 4x-1$
B.$y= x^{2}+x+1$
C.$y= (x^{2}+x+1)(x-1)$
D.非以上结论

答案： B

3. 抛物线$y= ax^{2}+bx+c经过点(3,0)和(2,-3)$,且以直线$x= 1$为对称轴,则它的表达式为$y=x^2-2x-3$.

答案： $y=x^2-2x-3$

4. 已知等式$y= ax^{2}+bx+c$,当$x= -1$时,$y= 10$;当$x= 1$时,$y= 4$;当$x= 2$时,$y= 7$.则y与x之间的关系式是$y = 2x^2 - 3x + 5$.

答案： 解：根据题意得：
$\begin{cases}a(-1)^2 + b(-1) + c = 10 \\a(1)^2 + b(1) + c = 4 \\a(2)^2 + b(2) + c = 7\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a - b + c = 10 & (1) \\a + b + c = 4 & (2) \\4a + 2b + c = 7 & (3)\end{cases}$
用$(2)-(1)$得：$2b = -6$，解得$b = -3$
将$b = -3$代入$(1)$得：$a - (-3) + c = 10$，即$a + c = 7$ $(4)$
将$b = -3$代入$(3)$得：$4a + 2(-3) + c = 7$，即$4a + c = 13$ $(5)$
用$(5)-(4)$得：$3a = 6$，解得$a = 2$
将$a = 2$代入$(4)$得：$2 + c = 7$，解得$c = 5$
所以$y = 2x^2 - 3x + 5$
$y = 2x^2 - 3x + 5$

5. 已知二次函数$y= ax^{2}+bx+c的图象过(-1,-1)$,$(1,1)$,$(2,-4)$三点.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(3)这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?

答案： $ (1) y = -2x^2 + x + 2 (2) $开口向下，对称轴$ x = \frac{1}{4}，$顶点$ \left(\frac{1}{4}, \frac{17}{8}\right) (3) $最大值，值为$ \frac{17}{8}$

二、根据二次函数的表达式解决问题
6. 如图,已知抛物线$y= x^{2}+bx+c$经过A$(-1,0)$,$B(3,0)$两点,与y轴交于点C.

(1)抛物线的表达式为$ y = x^2 - 2x - 3 $;
(2)P为抛物线上一点,若$S_{\triangle ABP}= 24$,则P点的坐标为$ (5, 12) $ 或 $ (-3, 12) $.
7. 如图,抛物线$y= -\frac{1}{2}x^{2}+bx+c$与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且$OA= 2$,$OC= 3$.

(1)求抛物线的表达式.
解：由题意得 $ C(0, 3) $，$ A(-2, 0) $。
将 $ A(-2, 0) $，$ C(0, 3) $ 代入 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + bx + c $，
得 $ \begin{cases} -2 - 2b + c = 0 \\ c = 3 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} b = \frac{1}{2} \\ c = 3 \end{cases} $。
∴ 抛物线表达式为 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 3 $。
(2)若点D$(2,2)$是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得$\triangle BDP$的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解：存在。
抛物线对称轴为 $ x = \frac{1}{2} $。
令 $ y = 0 $，得 $ -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 3 = 0 $，解得 $ x_1 = -2 $，$ x_2 = 3 $，∴ $ B(3, 0) $。
$ A(-2, 0) $ 与 $ B(3, 0) $ 关于对称轴对称，连接 $ AD $ 交对称轴于点 $ P $，此时 $ \triangle BDP $ 周长最小。
设直线 $ AD $ 解析式为 $ y = kx + d $，将 $ A(-2, 0) $，$ D(2, 2) $ 代入，
得 $ \begin{cases} -2k + d = 0 \\ 2k + d = 2 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} k = \frac{1}{2} \\ d = 1 \end{cases} $。
∴ 直线 $ AD $：$ y = \frac{1}{2}x + 1 $。
当 $ x = \frac{1}{2} $ 时，$ y = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{4} $。
∴ $ P\left( \frac{1}{2}, \frac{5}{4} \right) $。

答案： 二、根据二次函数的表达式解决问题
6.
(1) $ y = x^2 - 2x - 3 $
(2) $ (5, 12) $ 或 $ (-3, 12) $
7.
(1) 解：由题意得 $ C(0, 3) $，$ A(-2, 0) $。
将 $ A(-2, 0) $，$ C(0, 3) $ 代入 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + bx + c $，
得 $ \begin{cases} -2 - 2b + c = 0 \\ c = 3 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} b = \frac{1}{2} \\ c = 3 \end{cases} $。
∴ 抛物线表达式为 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 3 $。
(2) 解：存在。
抛物线对称轴为 $ x = \frac{1}{2} $。
令 $ y = 0 $，得 $ -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 3 = 0 $，解得 $ x_1 = -2 $，$ x_2 = 3 $，
∴ $ B(3, 0) $。
$ A(-2, 0) $ 与 $ B(3, 0) $ 关于对称轴对称，连接 $ AD $ 交对称轴于点 $ P $，此时 $ \triangle BDP $ 周长最小。
设直线 $ AD $ 解析式为 $ y = kx + d $，将 $ A(-2, 0) $，$ D(2, 2) $ 代入，
得 $ \begin{cases} -2k + d = 0 \\ 2k + d = 2 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} k = \frac{1}{2} \\ d = 1 \end{cases} $。
∴ 直线 $ AD $：$ y = \frac{1}{2}x + 1 $。
当 $ x = \frac{1}{2} $ 时，$ y = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{4} $。
∴ $ P\left( \frac{1}{2}, \frac{5}{4} \right) $。