《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

25.（12分）如图，点$P$为$\triangle ABC$内部一点，连接$PA$，$PB$，$PC$，在$\triangle PAB$，$\triangle PBC$，$\triangle PAC$中，如果存在一个三角形，其三个内角与$\triangle ABC$的三个内角分别相等，则称点$P$为$\triangle ABC$的等角点．
（1）如图①，点$P$是锐角$\triangle ABC$的等角点，若$\angle BAC = \angle PCB$，求$\angle BPC$，$\angle ACB$，$\angle ABP$之间的数量关系；
答：$\angle BPC = \angle ABP + \angle ACB$
（2）如图②，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC ＜ \angle ABC ＜ \angle ACB$，若三个内角的角平分线的交点$P$是等角点，求$\triangle ABC$三个内角的度数．
答：$(\frac{180}{7})°$，$(\frac{360}{7})°$，$(\frac{720}{7})°$

答案：
(1)
∵$∠BAC = ∠BCP$，$∠BPC = ∠ABP + ∠BAC + ∠ACB - ∠PCB = ∠ABP + ∠BAC + ∠ACB - ∠BAC = ∠ABP + ∠ACB$，
∴$∠BPC = ∠ABP + ∠ACB$。
(2)
∵P为$△ABC$的角平分线的交点，
∴$∠PBC = \frac{1}{2}∠ABC$，$∠PCB = \frac{1}{2}∠ACB$。
∵P为$△ABC$的等角点，
∴$∠PBC = ∠BAC$，$∠BCP = ∠ABC = 2∠PBC = 2∠BAC$，$∠ACB = ∠BPC = 4∠BAC$。又
∵$∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°$，
∴$∠BAC + 2∠BAC + 4∠BAC = 180°$，
∴$∠BAC = (\frac{180}{7})°$，
∴$△ABC$三个内角的度数分别为$(\frac{180}{7})°$，$(\frac{360}{7})°$，$(\frac{720}{7})°$。

26.（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线$AB$分别交$x$轴、$y$轴于$A(a,0)$，$B(0,b)$两点，且$a$，$b$满足$(a - b)^{2} + |a - 4t| = 0$，且$t ＞ 0$，$t$是常数．射线$BD$平分$\angle OBA$，交$x$轴于$D$点．
（1）如图①，若$AB$的中点为$M$，连接$OM$交$BD$于$N$，求证：$ON = OD$．
（2）如图②，过点$A$作$AE\perp BD$，垂足为$E$，猜想$AE$与$BD$之间的数量关系，并证明你的猜想．
猜想：$BD$=2AE
（3）如图③，在$x$轴上有一个动点$P$（在$A$点的右侧），连接$PB$，并作等腰直角$\triangle BPF$，其中$\angle BPF = 90^{\circ}$，连接$FA$并延长交$y$轴于$G$点，当$P$点在运动时，$OG$的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．
答：OG的长不变，且OG=4t

答案：
(1)
∵直线AB分别交x轴、y轴于A(a, 0)，B(0, b)两点，且a，b满足$(a - b)^2 + |a - 4t| = 0$，且t ＞ 0，
∴a = b = 4t，
∴A(4t, 0)，B(0, 4t)，
∴$△AOB$是等腰直角三角形，
∴$∠ABO = 45°$。
∵点M是AB的中点，
∴$OM⊥AB$，
∴$∠MOA = 45°$。
∵射线BD平分$∠OBA$，
∴$∠ABD = \frac{1}{2}∠ABO = 22.5°$，
∴$∠OND = ∠BNM = 90° - ∠ABD = 90° - 22.5° = 67.5°$，$∠ODB = ∠ABD + ∠BAD = 22.5° + 45° = 67.5°$，
∴$∠OND = ∠ODB$，
∴ON = OD。
(2)BD = 2AE。证明：延长AE交y轴于C，
∵BD平分$∠OBA$，
∴$∠ABD = ∠CBD$。
∵$AE⊥BD$于点E，
∴$∠AEB = ∠CEB = 90°$。在$△ABE$和$△CBE$中，$\begin{cases} ∠ABD = ∠CBD \\ BE = BE \\ ∠AEB = ∠CEB = 90° \end{cases}$，
∴$△ABE≌△CBE(ASA)$，
∴AE = CE，
∴AC = 2AE。
∵$AE⊥BD$，
∴$∠OAC + ∠ADE = 90°$。又$∠OBD + ∠BDO = 90°$，$∠ADE = ∠BDO$，
∴$∠OAC = ∠OBD$。在$△OAC$和$△OBD$中，$\begin{cases} ∠OAC = ∠OBD \\ OA = OB \\ ∠AOC = ∠BOD \end{cases}$，
∴$△OAC≌△OBD(ASA)$，
∴BD = AC，
∴BD = 2AE。
(3)OG的长不变，且OG = 4t。过F作$FH⊥OP$，垂足为H，
∴$∠FPH + ∠PFH = 90°$。
∵$∠BPF = 90°$，
∴$∠BPO + ∠PFH = 90°$，
∴$∠PFH = ∠BPO$。
∵$△BPF$是等腰直角三角形，
∴BP = FP。在$△OBP$和$△HPF$中，$\begin{cases} ∠BPO = ∠PFH \\ ∠BOP = ∠PHF = 90° \\ BP = PF \end{cases}$，
∴$△OBP≌△HPF(AAS)$，
∴FH = OP，PH = OB = 4t。
∵AH = PH + AP = OB + AP，OA = OB，
∴AH = OA + AP = OP，
∴FH = AH，
∴$∠GAO = ∠FAH = 45°$，
∴$△AOG$是等腰直角三角形，
∴OG = OA = 4t。