《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

10.（2023·通辽中考）点$Q$的横坐标为一元一次方程$3x + 7 = 32 - 2x$的解，纵坐标为$a + b$的值，其中$a$，$b$满足二元一次方程组$\begin{cases}2a - b = 4,\\ - a + 2b = - 8,\end{cases}$则点$Q$关于$y$轴的对称点$Q'$的坐标为(−5,−4)。

答案： (−5,−4)

11. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A = 50^{\circ}$，将其折叠，使点$A$落在边$CB$上的$A'$处，折痕为$CD$，则$\angle A'DB$的度数为10°。

答案： 10°

12.（益阳中考）如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC = 36^{\circ}$，$DE$是线段$AC$的垂直平分线，若$BE = a$，$AE = b$，则用含$a$，$b$的式子表示$\triangle ABC$的周长为______2a+3b。

答案： 2a+3b

13. 如图，$\triangle ABC$是等边三角形，点$E$在$AC$的延长线上，点$D$在线段$AB$上，连接$ED$交线段$BC$于点$F$，过点$F$作$FN\perp AC$于点$N$，$DB = \frac{7}{5}CN$，$EF = FD$，若$FB = 17$，则$AN$的长为______。

答案：
22　解析:如图,作DG//AC交BC于点G,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC,∠ABC=∠BCA=∠BAC=60°,
∴∠DGB=∠ACB=60°,∠DGF=∠ECF。

∵∠DFG=∠EFC,DF=EF,
∴△DFG≌△EFC,
∴GF=FC。
∵∠DGB=∠ACB=60°,
∴△BDG是等边三角形,
∴BD=BG。
∵DB=$\frac{7}{5}$CN,
∴设CN=5a,则BD=7a。
∵FN⊥AC,
∴∠NFC=30°,
∴CF=2CN=10a,
∴GF=FC=10a,BD=BG=7a,FB=17a=17,解得a=1,则BC=AC=27a=27,CN=5a=5,AN的长为27−5=22。

14. 如图，已知$\angle BAD = \angle DAC = 9^{\circ}$，$AD\perp AE$，且$AB + AC = BE$，则$\angle B =$______48°。

答案： 48°　解析:延长BA到点F,使AF=AC,连接EF,
∵AB+AC=BE,
∴AB+AF=BE=BF,
∴∠F=∠BEF=$\frac{1}{2}$(180°−∠B)。
∵∠BAD=∠DAC=9°,AD⊥AE,即∠DAE=90°,
∴∠FAE=180°−(∠BAD+∠DAE)=180°−(9°+90°)=81°,∠CAE=∠DAE−∠DAC=81°,
∴∠FAE=∠CAE。
∵AF=AC,∠FAE=∠CAE,AE=AE,
∴△AFE≌△ACE(SAS),
∴∠F=∠ACE。
∵∠ACE=∠B+∠BAC=∠B+18°,
∴∠F=∠B+18°,
∴∠B+18°=$\frac{1}{2}$×(180°−∠B),则∠B=48°。

15.（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知$\triangle ABC$的三个顶点的坐标分别为$A(1,0)$，$B(2,-3)$，$C(4,-2)$。
（1）画出$\triangle ABC$关于$x$轴的对称图形$\triangle A_1B_1C_1$；
（2）画出$\triangle A_1B_1C_1$向左平移4个单位长度后得到的$\triangle A_2B_2C_2$；
（3）$\triangle BA_2C_2$的面积为______；
（4）若$AC$上有一点$P(m,n)$经过上述两次变换，则对应$A_2C_2$上的点$P_2$的坐标为______。

答案：

(1)如图所示,△A₁B₁C₁即为所求。
(2)如图所示,△A₂B₂C₂即为所求。

(3)9.5
(4)(m−4,−n)

16.（5分）（南京中考节选）（1）如图①，要在一条笔直的路边$l$上建一个燃气站，向$l$同侧的$A$，$B$两个城镇分别铺设管道输送燃气。试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短。
（2）如图②，如果在$A$，$B$两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短。

答案：

(1)如图①,点P即为所求。沿AP—PB路线铺设管道,管道长度最短。

(2)如图②,点P即为所求。

17.（9分）如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 45^{\circ}$，$CD\perp AB$于点$D$，$AC$的垂直平分线$BE$与$CD$交于点$F$，与$AC$交于点$E$。
（1）判断$\triangle DBC$的形状并说明理由；
$\triangle DBC$是等腰直角三角形，理由如下：$\because \angle ABC=45^{\circ}$，$CD\perp AB$，$\therefore \angle BCD=\angle ABC=45^{\circ}$，$\therefore BD=CD$，$\therefore \triangle DBC$是等腰直角三角形。
（2）求证：$BF = AC$；
证明：$\because BE\perp AC$，$\therefore \angle BDC=\angle BEC=90^{\circ}$，$\because \angle BFD=\angle CFE$，$\therefore \angle DBF=\angle ACD$。在$\triangle BDF$与$\triangle CDA$中，$\begin{cases}\angle BDF=\angle CDA=90^{\circ}\\BD=CD\\\angle DBF=\angle DCA\end{cases}$，$\therefore \triangle BDF\cong\triangle CDA(ASA)$，$\therefore BF=AC$。
（3）试说明：$CE = \frac{1}{2}BF$。
说明：$\because BE$是$AC$的垂直平分线，$\therefore CE=\frac{1}{2}AC$。由（2）知，$BF=AC$，$\therefore CE=\frac{1}{2}BF$。

答案：
(1)△DBC是等腰直角三角形,理由如下:
∵∠ABC=45°,CD⊥AB,
∴∠BCD=∠ABC=45°,
∴BD=CD,
∴△DBC是等腰直角三角形。
(2)
∵BE⊥AC,
∴∠BDC=∠BEC=90°,
∵∠BFD=∠CFE,
∴∠DBF=∠ACD。在△BDF与△CDA中,$\begin{cases}∠BDF=∠CDA=90°\\BD=CD\\∠DBF=∠DCA\end{cases}$，
∴△BDF≌△CDA(ASA)，BF=AC。
(3)
∵BE是AC的垂直平分线,
∴CE=$\frac{1}{2}$AC。由
(2)知,BF=AC,
∴CE=$\frac{1}{2}$BF。