《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

11. 改编题 你会对多项式$(x^{2}+5x + 2)(x^{2}+5x + 3)-12$分解因式吗？对结构较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，能使复杂的问题简单化、明朗化。从换元的个数看，有一元代换、二元代换等。
对于$(x^{2}+5x + 2)(x^{2}+5x + 3)-12$。
解法一：设$x^{2}+5x = y$，
则原式$=(y + 2)(y + 3)-12=y^{2}+5y - 6=(y + 6)(y - 1)=(x^{2}+5x + 6)(x^{2}+5x - 1)=(x + 2)(x + 3)(x^{2}+5x - 1)$。
解法二：设$x^{2}+5x + 2 = y$，
则原式$=y(y + 1)-12=y^{2}+y - 12=(y + 4)(y - 3)=(x^{2}+5x + 6)(x^{2}+5x - 1)=(x + 2)(x + 3)\cdot(x^{2}+5x - 1)$。
解法三：设$x^{2}+2 = m$，$5x = n$，
则原式$=(m + n)(m + n + 1)-12=(m + n)^{2}+(m + n)-12=(m + n + 4)(m + n - 3)=(x^{2}+5x + 6)(x^{2}+5x - 1)=(x + 2)(x + 3)(x^{2}+5x - 1)$。
按照上面介绍的方法对下列多项式分解因式。
(1)$(x^{2}+x - 4)(x^{2}+x + 3)+10$；
设$x^{2}+x=y$,则原式$=(y-4)(y+3)+10=y^{2}-y-2=(y-2)(y+1)=(x^{2}+x-2)(x^{2}+x+1)=(x+2)(x-1)(x^{2}+x+1)$
(2)$(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)+x^{2}$；
设$x^{2}+6=m$,原式$=(x^{2}+6+7x)(x^{2}+6+5x)+x^{2}=(m+7x)(m+5x)+x^{2}=m^{2}+12xm+35x^{2}+x^{2}=m^{2}+12xm+36x^{2}=(m+6x)^{2}=(x^{2}+6x+6)^{2}$
(3)$(x + y - 2xy)(x + y - 2)+(xy - 1)^{2}$。
设$x+y=m,xy=n$,则原式$=(m-2n)(m-2)+(n-1)^{2}=m^{2}-2m-2mn+4n+n^{2}-2n+1=m^{2}-2m-2mn+n^{2}+2n+1=m^{2}-2m(1+n)+(n+1)^{2}=(m-n-1)^{2}=(x+y-xy-1)^{2}=(y-1)^{2}(1-x)^{2}$

答案：
(1)设$x^{2}+x=y$,则原式$=(y-4)(y+3)+10=y^{2}-y-2=(y-2)(y+1)=(x^{2}+x-2)(x^{2}+x+1)=(x+2)(x-1)(x^{2}+x+1)$.
(2)设$x^{2}+6=m$,原式$=(x^{2}+6+7x)(x^{2}+6+5x)+x^{2}=(m+7x)(m+5x)+x^{2}=m^{2}+12xm+35x^{2}+x^{2}=m^{2}+12xm+36x^{2}=(m+6x)^{2}=(x^{2}+6x+6)^{2}$.
(3)设$x+y=m,xy=n$,则原式$=(m-2n)(m-2)+(n-1)^{2}=m^{2}-2m-2mn+4n+n^{2}-2n+1=m^{2}-2m-2mn+n^{2}+2n+1=m^{2}-2m(1+n)+(n+1)^{2}=(m-n-1)^{2}=(x+y-xy-1)^{2}=(y-1)^{2}(1-x)^{2}$.

12. 改编题 阅读材料，回答问题。
添项拆项法：因式分解是多项式乘法的逆运算。在多项式乘法运算时，常将几个同类项合并为一项或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零。在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项。即把多项式中的某一项拆成两项或多项或者在多项式中添上两个仅符号相反的项。前者称为拆项，后者称为添项。拆项添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解。
例：分解因式：$x^{3}-3x + 2$。
方法一：$x^{3}-3x + 2=x^{3}-x - 2x + 2=x^{3}-x+(-2x + 2)=(x^{2}-1)x - 2(x - 1)=(x + 1)(x - 1)x - 2(x - 1)=(x - 1)(x^{2}+x - 2)=(x - 1)^{2}(x + 2)$。
方法二：$x^{3}-3x + 2=x^{3}-3x + 3 - 1=x^{3}-1+(-3x + 3)=(x - 1)(x^{2}+x + 1)-3(x - 1)=(x - 1)(x^{2}+x + 1 - 3)=(x - 1)^{2}(x + 2)$。
方法三：$x^{3}-3x + 2=3x^{3}-2x^{3}-3x + 2=3x(x^{2}-1)-2(x^{3}-1)=3x(x + 1)\cdot(x - 1)-2(x - 1)(x^{2}+x + 1)=(x - 1)\cdot(3x^{2}+3x - 2x^{2}-2x - 2)=(x - 1)(x^{2}+x - 2)=(x - 1)^{2}(x + 2)$。
方法四：$x^{3}-3x + 2=x^{3}-x^{2}+x^{2}-3x + 2=x^{2}(x - 1)+(x - 1)(x - 2)=(x - 1)(x^{2}+x - 2)=(x - 1)^{2}(x + 2)$。
(1)分解因式：
①$a^{3}-9a + 8$；$(a-1)(a^{2}+a-8)$②$3x^{3}+7x^{2}-4$；$(3x-2)(x+1)(x+2)$
③$x^{4}+x^{2}+1$；$(x^{2}+1+x)(x^{2}+1-x)$④$x^{4}-6x^{2}-7x - 6$。$(x+2)(x-3)(x^{2}+x+1)$
(2)求证：$50^{2}+50^{2}×51^{2}+51^{2}$是一个正整数的平方数。
$\because 50^{2}+50^{2}×51^{2}+51^{2}=50^{2}+50^{2}×51^{2}+(50+1)^{2}=50^{2}×51^{2}+50^{2}+2×50×1+1+50^{2}=50^{2}×51^{2}+2×50×(1+50)+1=50^{2}×51^{2}+2×50×51+1=(50×51+1)^{2}=2551^{2},\therefore 50^{2}+50^{2}×51^{2}+51^{2}$是一个正整数的平方数.

答案：
(1)①$a^{3}-9a+8=a^{3}-a-8a+8=a(a^{2}-1)-8(a-1)=a(a+1)\cdot (a-1)-8(a-1)=(a-1)[a(a+1)-8]=(a-1)(a^{2}+a-8)$.
②$3x^{3}+7x^{2}-4=3x^{3}-2x^{2}+9x^{2}-4=(3x^{3}-2x^{2})+(9x^{2}-4)=x^{2}(3x-2)+(3x+2)(3x-2)=(3x-2)(x^{2}+3x+2)=(3x-2)(x+1)(x+2)$.
③$x^{4}+x^{2}+1=x^{4}+2x^{2}+1-x^{2}=(x^{2}+1)^{2}-x^{2}=(x^{2}+1+x)(x^{2}+1-x)$.
④$x^{4}-6x^{2}-7x-6=x^{2}(x^{2}-4)-2x^{2}-7x-6=x^{2}(x+2)(x-2)-(2x+3)(x+2)=(x+2)[x^{2}(x-2)-2x-3]=(x+2)(x^{3}-2x^{2}-3x-3)=(x+2)[x(x-3)(x+1)+(x-3)]=(x+2)(x-3)(x^{2}+x+1)$.
(2)$\because 50^{2}+50^{2}×51^{2}+51^{2}=50^{2}+50^{2}×51^{2}+(50+1)^{2}=50^{2}×51^{2}+50^{2}+2×50×1+1+50^{2}=50^{2}×51^{2}+2×50×(1+50)+1=50^{2}×51^{2}+2×50×51+1=(50×51+1)^{2}=2551^{2},\therefore 50^{2}+50^{2}×51^{2}+51^{2}$是一个正整数的平方数.