《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

1. 分解因式:
(1)$x^{2}-10x(y+1)+25(y+1)^{2}$;
(2)$(x^{2}-4x)^{2}+8(x^{2}-4x)+16$;
(3)$(2m+1)^{3}-6(2m+1)^{2}+9(2m+1)$;
(4)$3(a+1)^{2}-12(a+1)(b-1)+12(b-1)^{2}$.

答案：
(1) 原式$=x^{2}-10x(y+1)+[5(y+1)]^{2}=[x-5(y+1)]^{2}=(x-5y-5)^{2}$.
(2) 原式$=(x^{2}-4x+4)^{2}=(x-2)^{4}$.
(3) 原式$=(2m+1)[(2m+1)^{2}-6(2m+1)+9]=(2m+1)\cdot (2m+1-3)^{2}=(2m+1)(2m-2)^{2}=4(2m+1)(m-1)^{2}$.
(4) 原式$=3[(a+1)^{2}-4(a+1)(b-1)+4(b-1)^{2}]=3[(a+1)-2(b-1)]^{2}=3(a-2b+3)^{2}$.

2. (2024·汕头期末)八年级课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:将$2a-3ab-4+6b$因式分解.
【观察】经过小组合作交流,小明得到了如下的解决方法:
解法一:原式$=(2a-3ab)-(4-6b)=a(2-3b)-2(2-3b)=(2-3b)(a-2)$;
解法二:原式$=(2a-4)-(3ab-6b)=2(a-2)-3b(a-2)=(a-2)(2-3b)$.
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时,我们可以将多项式分为若干组,再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的,这就是因式分解的分组分解法.分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用.(温馨提示:因式分解一定要分解到不能再分解为止)
【类比】(1)请用分组分解法将$x^{2}-a^{2}+x+a$因式分解.$x^{2}-a^{2}+x+a=(x^{2}-a^{2})+(x+a)=(x+a)(x-a)+(x+a)=(x+a)(x-a+1)$
【挑战】(2)请用分组分解法将$ax+a^{2}-2ab-bx+b^{2}$因式分解.$ax+a^{2}-2ab-bx+b^{2}=(a^{2}-2ab+b^{2})+(ax-bx)=(a-b)^{2}+x(a-b)=(a-b)(a-b+x)$
(3)若$a^{2}+b^{2}=9,a-b=2$,请用分组分解法先将$a^{4}-2a^{3}b+2a^{2}b^{2}-2ab^{3}+b^{4}$因式分解,再求值.$a^{4}-2a^{3}b+2a^{2}b^{2}-2ab^{3}+b^{4}=(a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4})-(2a^{3}b+2ab^{3})=(a^{2}+b^{2})^{2}-2ab(a^{2}+b^{2})=(a^{2}+b^{2})(a^{2}-2ab+b^{2})=(a^{2}+b^{2})(a-b)^{2}$. 当$a^{2}+b^{2}=9$，$a-b=2$时，原式$=9×2^{2}=36$

答案：
(1)$x^{2}-a^{2}+x+a=(x^{2}-a^{2})+(x+a)=(x+a)(x-a)+(x+a)=(x+a)(x-a+1)$.
(2)$ax+a^{2}-2ab-bx+b^{2}=(a^{2}-2ab+b^{2})+(ax-bx)=(a-b)^{2}+x(a-b)=(a-b)(a-b+x)$.
(3)$a^{4}-2a^{3}b+2a^{2}b^{2}-2ab^{3}+b^{4}=(a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4})-(2a^{3}b+2ab^{3})=(a^{2}+b^{2})^{2}-2ab(a^{2}+b^{2})=(a^{2}+b^{2})(a^{2}-2ab+b^{2})=(a^{2}+b^{2})(a-b)^{2}$. 当$a^{2}+b^{2}=9$，$a-b=2$时，原式$=9×2^{2}=36$.