《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

1. 如图,已知太阳光线AC和DE是平行的,在同一时刻,如果将两根高度相同的木杆竖直插在地面上,那么在太阳光照射下,其影子一样长.这里判断影长相等利用了全等图形的性质,其中判断$\triangle ABC\cong \triangle DFE$的依据是 (B)

A. SAS
B. AAS
C. SSS
D. SSA

答案： B

2. 新趋势 开放性试题 (2023·衢州中考)已知:如图,在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中,B,E,C,F在同一条直线上.下面四个条件:①$AB=DE$;②$AC=DF$;③$BE=CF$;④$∠ABC=∠DEF$.
(1)请选择其中的三个条件,使得$\triangle ABC\cong \triangle DEF$(写出一种情况即可);
(2)在(1)的条件下,求证:$\triangle ABC\cong \triangle DEF$.

答案：

(1)可以选择条件①②③或①③④.
(2)当选择的条件为①②③时，$\because BE=CF$，$\therefore BE + EC = CF + EC$，即$BC = EF$。在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$\begin{cases}AB = DE\\BC = EF\\AC = DF\end{cases}$，$\therefore \triangle ABC\cong \triangle DEF(SSS)$。
当选择的条件为①③④时，$\because BE = CF$，$\therefore BE + EC = CF + EC$，即$BC = EF$。在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$\begin{cases}AB = DE\\\angle ABC = \angle DEF\\BC = EF\end{cases}$，$\therefore \triangle ABC\cong \triangle DEF(SAS)$。
归纳总结：平移模型的特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常利用线段的等量代换找对应边相等，或者利用平行线的性质找对应角相等。

3. 如图,$CA=CB,AD=BD$,M,N分别是CA,CB的中点,若$\triangle ADM$的面积为$\frac {3}{2}$,则图中阴影部分的面积为____.

答案：
3 解析：连接$CD$，$\because M$，$N$分别是$CA$，$CB$的中点，$\therefore S_{\triangle CDM}=S_{\triangle ADM}=\frac{1}{2}S_{\triangle ACD}=\frac{3}{2}$，$S_{\triangle CDN}=S_{\triangle BDN}=\frac{1}{2}S_{\triangle BCD}$，$\therefore S_{\triangle ACD}=3$。在$\triangle ACD$和$\triangle BCD$中，$\begin{cases}CA = CB\\AD = BD\\CD = CD\end{cases}$，$\therefore \triangle ACD\cong \triangle BCD(SSS)$，$\therefore S_{\triangle BCD}=S_{\triangle ACD}=3$，$\therefore S_{\triangle CDN}=\frac{1}{2}S_{\triangle BCD}=\frac{3}{2}$，$\therefore S_{阴影}=S_{\triangle CDM}+S_{\triangle CDN}=3$。
归纳总结：对称模型的图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合。解题时需要注意公共边、公共角、对顶角等隐含条件，常常用到角度的等量代换。

4. (2023·南通中考)如图,点D,E分别在AB,AC上,$∠ADC=∠AEB=90^{\circ }$,BE,CD相交于点O,$OB=OC$.
求证:$∠1=∠2$.
小虎同学的证明过程如下:
证明:$\because ∠ADC=∠AEB=90^{\circ }$,
$\therefore ∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90^{\circ }$.
$\because ∠DOB=∠EOC$,
$\therefore ∠B=∠C$.…………第一步
又$OA=OA,OB=OC$,
$\therefore \triangle ABO\cong \triangle ACO$,…………第二步
$\therefore ∠1=∠2$. …………………第三步
(1)小虎同学的证明过程中,第____二____步出现错误;
(2)请写出正确的证明过程.
(2)$\because \angle ADC = \angle AEB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BDC = \angle CEB = 90^{\circ}$。在$\triangle DOB$和$\triangle EOC$中，$\begin{cases}\angle BDO = \angle CEO\\\angle DOB = \angle EOC\\OB = OC\end{cases}$，$\therefore \triangle DOB\cong \triangle EOC(AAS)$，$\therefore OD = OE$。
在$Rt\triangle ADO$和$Rt\triangle AEO$中，$\begin{cases}OA = OA\\OD = OE\end{cases}$，$\therefore Rt\triangle ADO\cong Rt\triangle AEO(HL)$，$\therefore \angle 1 = \angle 2$。

答案：
(1)二
(2)$\because \angle ADC = \angle AEB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BDC = \angle CEB = 90^{\circ}$。在$\triangle DOB$和$\triangle EOC$中，$\begin{cases}\angle BDO = \angle CEO\\\angle DOB = \angle EOC\\OB = OC\end{cases}$，$\therefore \triangle DOB\cong \triangle EOC(AAS)$，$\therefore OD = OE$。
在$Rt\triangle ADO$和$Rt\triangle AEO$中，$\begin{cases}OA = OA\\OD = OE\end{cases}$，$\therefore Rt\triangle ADO\cong Rt\triangle AEO(HL)$，$\therefore \angle 1 = \angle 2$。

5. 如图,AD是$\triangle ABC$的角平分线,$CE⊥AD$,垂足为F.若$∠CAB=30^{\circ },∠B=55^{\circ }$,则$∠BDE$的度数为 (B)

A. $35^{\circ }$
B. $40^{\circ }$
C. $45^{\circ }$
D. $50^{\circ }$

答案： B 解析：$\because CE\perp AD$，$\therefore \angle AFC = \angle AFE = 90^{\circ}$。$\because AD$是$\triangle ABC$的角平分线，$\therefore \angle CAD = \angle EAD = \frac{1}{2}\times30^{\circ}=15^{\circ}$。在$\triangle ACF$与$\triangle AEF$中，$\begin{cases}\angle AFC = \angle AFE\\AF = AF\\\angle CAF = \angle EAF\end{cases}$，$\therefore \triangle ACF\cong \triangle AEF(ASA)$，$\therefore AC = AE$。在$\triangle ACD$与$\triangle AED$中，$\begin{cases}AC = AE\\\angle CAD = \angle EAD\\AD = AD\end{cases}$，$\therefore \triangle ACD\cong \triangle AED(SAS)$，$\therefore DC = DE$，$\therefore \angle DCE = \angle DEC$。$\because \angle ACE = 90^{\circ}-15^{\circ}=75^{\circ}$，$\angle ACB = 180^{\circ}-30^{\circ}-55^{\circ}=95^{\circ}$，$\therefore \angle DCE = \angle DEC = \angle ACB - \angle ACE = 95^{\circ}-75^{\circ}=20^{\circ}$，$\therefore \angle BDE = \angle DCE + \angle DEC = 20^{\circ}+20^{\circ}=40^{\circ}$。