《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

9. 如图，等边$△ABC$的边长为1cm，D，E分别是AB，AC上的点，将$△ADE$沿直线DE折叠，点A落在点$A'$处，且点$A'$在$△ABC$外部，则阴影部分图形的周长为（A）

A. 3cm
B. 4cm
C. 4.5cm
D. 5cm

答案： A 解析：由题意可知$\triangle ADE$与$\triangle A'DE$全等，$A'D = AD,A'E = AE$，所以阴影部分图形的周长等于$\triangle ABC$的周长.

10. 三个全等三角形按如图的形式摆放，则$∠1+∠2+∠3$的度数是（ ）


A. $90^{\circ }$
B. $120^{\circ }$
C. $135^{\circ }$
D. $180^{\circ }$

答案：
D 解析：如图所示，由图形可得，$\angle 1 + \angle 4 + \angle 5 + \angle 8 + \angle 6 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 9 + \angle 7 = 3 \times 180^{\circ} = 540^{\circ}.\because$三个三角形全等，$\therefore \angle 4 + \angle 9 + \angle 6 = 180^{\circ}$.又$\because \angle 5 + \angle 7 + \angle 8 = 180^{\circ},\therefore \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + 180^{\circ} + 180^{\circ} = 540^{\circ},\therefore \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ}$.

11. 如图，A，C，N三点在同一直线上，在$△ABC$中，$∠A:∠ABC:∠ACB=3:5:10$，若$△MNC\cong △ABC$，则$∠BCM:∠BCN=$$1:4$。

答案： $1:4$ 解析：$\because \angle A:\angle ABC:\angle ACB = 3:5:10,\therefore \angle A = 30^{\circ},\angle ABC = 50^{\circ},\angle ACB = 100^{\circ}.\because \triangle MNC \cong \triangle ABC,\therefore \angle N = \angle ABC = 50^{\circ},\angle M = \angle A = 30^{\circ},\therefore \angle MCA = \angle M + \angle N = 80^{\circ},\therefore \angle BCM = 20^{\circ},\angle BCN = 80^{\circ},\therefore \angle BCM:\angle BCN = 1:4$.

12. (1)一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，$3x-2y$，$x+2y$，若这两个三角形全等，则$x+y$的值是____。
(2)已知点$A(2,0)$，$B(2,4)$，以点A，B，P(点P不与点O重合)为顶点的三角形与$△ABO$全等，则符合条件的点P的坐标是____。

答案：

(1)5 或 4 解析：由题意得①$\begin{cases}3x - 2y = 5,\\x + 2y = 7,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 3,\\y = 2,\end{cases}\therefore x + y = 5$；②$\begin{cases}3x - 2y = 7,\\x + 2y = 5,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 3,\\y = 1,\end{cases}\therefore x + y = 4$.故$x + y$的值为 5 或 4.
(2)$(0,4)$或$(4,0)$或$(4,4)$ 解析：如图，以$A,B,P$为顶点的三角形与$\triangle ABO$全等，则符合条件的点$P$的坐标为$(0,4)$或$(4,0)$或$(4,4)$.

### 易错提醒
当全等关系中的边对应或者角对应没有明确时，一定要分情况讨论.例如，“$\triangle ABC \cong \triangle DEF$”不仅表示全等关系，而且明确了对应边与对应角，点$A,B,C$的对应点分别是点$D,E,F$；“以$A,B,C$为顶点的三角形和$\triangle DEF$全等”只能表示两个三角形存在全等关系，不能明确对应边与对应角.

13. 如图，某校有一块长、宽分别为4m和3m的长方形花坛，现要将它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，请你给出四种不同的设计方案。

答案：
答案不唯一，如：

14. 改编题 如图所示，已知$△ABC\cong △ADE$，BC的延长线交AD于点F，交ED于点G。
(1)分别过C，E两点作AB，AD的高，若$CM=5$，求EN的长；5
(2)若$∠CAD=30^{\circ }$，$∠B=∠D=25^{\circ }$，$∠EAB=130^{\circ }$，求$∠DFB$和$∠DGB$的度数。105°，80°

答案：
(1)$\because \triangle ABC \cong \triangle ADE,\therefore AB = AD,S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADE},\therefore \frac{1}{2} \times AB \times CM = \frac{1}{2} \times AD \times EN,\therefore EN = CM = 5$.
(2)$\because \triangle ABC \cong \triangle ADE,\therefore \angle BAC = \angle DAE.\because \angle EAB = 130^{\circ},\therefore \angle DAE + \angle CAD + \angle BAC = 130^{\circ}.\because \angle CAD = 30^{\circ},\therefore \angle BAC = \frac{1}{2} \times (130^{\circ} - 30^{\circ}) = 50^{\circ},\therefore \angle BAF = \angle BAC + \angle CAD = 80^{\circ},\therefore \angle DFB = \angle BAF + \angle B = 80^{\circ} + 25^{\circ} = 105^{\circ}.\because \angle DFB = \angle D + \angle DGB,\therefore \angle DGB = 105^{\circ} - 25^{\circ} = 80^{\circ}$.

15. 如图①，在$Rt△ABC$中，$∠C=90^{\circ }$，$BC=9cm$，$AC=12cm$，$AB=15cm$，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边$AC→CB→BA$运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts。
(1)当$t=$____s时，$△ABC$的周长被线段AP平分为相等的两部分；
(2)如图①，当$t=$____s时，$△APC$的面积等于$△ABC$面积的一半；
(3)如图②，在$△DEF$中，$∠E=90^{\circ }$，$DE=4cm$，$DF=5cm$，$∠D=∠A$。在$△ABC$的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边$AB→BC→CA$运动，回到点A停止。在两点运动过程中的某一时刻，恰好$△APQ\cong △DEF$，求点Q的运动速度。

答案：

(1)6
(2)$\frac{11}{2}$或$\frac{19}{2}$ 解析：①当点$P$在$BC$上时，如图①，若$\triangle APC$的面积等于$\triangle ABC$面积的一半，则$CP = \frac{1}{2}BC = \frac{9}{2}cm$，此时，点$P$移动的距离为$AC + CP = 12 + \frac{9}{2} = \frac{33}{2}(cm)$，移动的时间为$\frac{33}{2} \div 3 = \frac{11}{2}(s)$.
②当点$P$在$BA$上时，如图②，过点$P$作$PD \perp AC$，垂足为点$D$，若$\triangle APC$的面积等于$\triangle ABC$面积的一半，则$PD = \frac{1}{2}BC$，即点$P$为$BA$的中点，此时点$P$移动的距离为$AC + CB + BP = 12 + 9 + \frac{15}{2} = \frac{57}{2}(cm)$，移动的时间为$\frac{57}{2} \div 3 = \frac{19}{2}(s)$.综上，$t = \frac{11}{2}$或$\frac{19}{2}$.

(3)$\triangle APQ \cong \triangle DEF$，即对应顶点为$A$与$D$，$P$与$E$，$Q$与$F$.①当点$P$在$AC$上时，如图③所示.此时，$AP = 4cm,AQ = 5cm,\therefore$点$Q$移动的速度为$5 \div (4 \div 3) = \frac{15}{4}(cm/s)$.
②当点$P$在$AB$上时，如图④所示，此时，$AP = 4cm,AQ = 5cm$，即点$P$移动的距离为$12 + 9 + (15 - 4) = 32(cm)$，点$Q$移动的距离为$15 + 9 + (12 - 5) = 31(cm),\therefore$点$Q$移动的速度为$31 \div (32 \div 3) = \frac{93}{32}(cm/s)$.综上所述，在两点运动过程中的某一时刻，恰好$\triangle APQ \cong \triangle DEF$，点$Q$的运动速度为$\frac{15}{4}cm/s$或$\frac{93}{32}cm/s$.