《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

1. (2024·烟台期末)新定义:已知三条平行直线,相邻两条平行线间的距离相等,我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”. 如图,$a// b// c$,相邻两条平行线间的距离为 m,等腰$Rt△ABC$为“格线三角形”，且$∠BAC=90^{\circ }$,则$△ABC$的面积为( )

A.$\frac {5}{2}m^{2}$
B.$2m^{2}$
C.$5m^{2}$
D.$4m^{2}$

答案：
A　解析:过点B作BE⊥直线a于点E,延长EB交直线c于点F,过点C作CD⊥直线a于点D,则∠CDA=∠AEB=90°,如图,
　　　　　　　　　　
∵a//b//c,相邻两条平行线间的距离为m,
∴BF⊥直线c,CD = 2m,BE = BF = m.
∵∠CAB = 90°,∠CDA = 90°,
∴∠DCA + ∠DAC = 90°,∠DAC + ∠EAB = 90°,
∴∠DCA = ∠EAB,
在△CDA和△AEB中, $ \left\{ \begin{array} { l } { \angle DCA = \angle EAB, } \\ { \angle CDA = \angle AEB, } \\ { AC = AB, } \end{array} \right. $
∴△CDA≌△AEB (AAS),
∴AE = CD = 2m,AD = BE = m,
∴CF = DE = AD + AE = m + 2m = 3m,
∴△ABC的面积 = $S _ { \text { 四边形 } D C F E } - S _ { \triangle A C D } \times 2 - S _ { \triangle B C F } = 3 m \times 2 m - \frac { 1 } { 2 } \times 2 m \times m \times 2 - \frac { 1 } { 2 } \times 3 m \times m = \frac { 5 } { 2 } m ^ { 2 }$.故选A.

2. (2025·滨州期末)用全等三角形研究“筝形”.
如图,四边形 ABCD 中,$AD=CD,AB=CB$.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”. 请你自己画一个筝形,用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想.

请结合上述材料,解决下面问题:
【概念理解】
(1)如图①,在正方形网格中,点 A,B,C 是网格线交点,请在网格中画出筝形 ABCD.
【性质探究】
(2)小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”,请你帮他将证明过程补充完整.
已知:如图②,在筝形 ABCD 中,$AB=AD,CB=CD$. 求证:$∠B=∠D.$
证明:
(3)如图③,连接筝形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O. 由此,小丽探究了筝形对角线的性质,请帮她完成填空:对角线 AC,BD 的位置关系是____;BO 与 OD 的数量关系是____.
【应用拓展】
(4)如图③,在筝形 ABCD 中,已知$AC=60cm,BD=40cm$,求筝形 ABCD 的面积.

答案：

(1)如图①,在正方形网格中,四边形ABCD即为所求.
　　　　　　　　　　
(2)如图②,连接AC,在△ABC与△ADC中, $ \left\{ \begin{array} { l } { A B = A D, } \\ { B C = D C, } \\ { A C = A C, } \end{array} \right. $
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠B = ∠D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(3)AC⊥BD　BO = OD　解析:由
(2)可得△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠BAC = ∠DAC,在△ABO和△ADO中, $ \left\{ \begin{array} { l } { A B = A D, } \\ { \angle B A C = \angle D A C, } \\ { A O = A O, } \end{array} \right. $
∴△ABO≌△ADO(SAS),
∴BO = DO,∠AOB = ∠AOD.
∵∠AOB + ∠AOD = 180°,
∴∠AOB = ∠AOD = 90°,
∴AC⊥BD.
(4)
∵四边形ABCD是筝形,
∴AC⊥BD,
∴$S _ { \text { 筝形 } A B C D } = S _ { \triangle A B D } + S _ { \triangle B C D } = \frac { 1 } { 2 } B D \cdot A O + \frac { 1 } { 2 } B D \cdot O C = \frac { 1 } { 2 } B D ( A O + O C ) = \frac { 1 } { 2 } B D \cdot A C = \frac { 1 } { 2 } \times 40 \times 60 = 1200 ( \mathrm { cm } ^ { 2 } )$.