《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

11. 改编题 如果三角形的一个内角是另一个内角的n倍(n为整数),那么我们称这个三角形为n倍角三角形.
(1)若2倍角三角形的一个内角为$50^{\circ }$,则这个2倍角三角形中最大的内角的度数为$100^{\circ}$或$(\frac{260}{3})^{\circ}$或$105^{\circ}$.
(2)若一个三角形既是2倍角三角形,又是3倍角三角形,则该三角形中最小的内角的度数为$30^{\circ}$或$20^{\circ}$或$18^{\circ}$或$(\frac{360}{11})^{\circ}$.

答案：
(1)$100^{\circ}$或$(\frac{260}{3})^{\circ}$或$105^{\circ}$　解析:△ABC中，不妨设∠B = 50°。若∠A = 2∠B = 100°，则△ABC中最大的内角的度数为$100^{\circ}$。若∠C = 2∠A，则∠A = $\frac{1}{3}×130^{\circ}$，∠C = $(\frac{260}{3})^{\circ}$，则△ABC中最大的内角的度数为$(\frac{260}{3})^{\circ}$。若∠B = 2∠C，则∠C = 25°，∠A = 105°，则△ABC中最大的内角的度数为$105^{\circ}$。故答案为$100^{\circ}$或$(\frac{260}{3})^{\circ}$或$105^{\circ}$。
(2)$30^{\circ}$或$20^{\circ}$或$18^{\circ}$或$(\frac{360}{11})^{\circ}$　解析:①设最小内角度数为$x^{\circ}$，2倍角为$2x^{\circ}$，3倍角为$3x^{\circ}$，
∴x + 2x + 3x = 180，
∴x = 30；
②设最小内角度数为$x^{\circ}$，2倍角为$2x^{\circ}$，3倍角为$6x^{\circ}$，
∴x + 2x + 6x = 180，
∴x = 20；
③设最小内角度数为$x^{\circ}$，3倍角为$3x^{\circ}$，2倍角为$6x^{\circ}$，
∴x + 3x + 6x = 180，
∴x = 18；
④设最小内角度数为$x^{\circ}$，则3倍角为$3x^{\circ}$。当$3x^{\circ}$既是3倍角又是2倍角时，另一个角为$\frac{3}{2}x^{\circ}$，
∴$x + 3x + \frac{3}{2}x = 180$，
∴$x = \frac{360}{11}$。

12. (2024·潮州月考)已知$∠MON=40^{\circ }$,OE平分$∠MON$,点A,B,C分别是射线OM,OE,ON上的动点(点A,B,C不与点O重合),连接AC交射线OE于点D.设$∠OAC=x^{\circ }$.
(1)如图①,已知$AB// ON$,则$∠ABO$的度数是$20^{\circ}$.当$∠BAD=∠ABD$时,$x=$120;当$∠BAD=∠BDA$时,$x=$60.
(2)如图②,若$AB⊥OM$于点A,是否存在这样的x的值,使得$\triangle ADB$中有两个相等的角?若存在,求出x的值;若不存在,说明理由.

答案：
(1)$20^{\circ}$ 120 60　解析:
∵∠MON = 40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB = ∠BON = 20°。
∵AB // ON，
∴∠ABO = ∠BON = 20°。当∠BAD = ∠ABD时，∠BAD = 20°。
∵∠AOB + ∠ABO + ∠OAB = 180°，
∴∠OAB = 140°，
∴∠OAC = 120°，即x = 120。当∠BAD = ∠BDA时，
∵∠ABO = 20°，
∴∠BAD = 80°。
∵∠OAB = 140°，
∴∠OAC = 60°，即x = 60。
(2)存在。①当点D在线段OB上时，若∠BAD = ∠ABD，则x = 20；若∠BAD = ∠BDA，则x = 35；若∠ADB = ∠ABD，则x = 50。②当点D在射线BE上时，
∵∠ABE = 110°，且三角形的内角和为180°，
∴只可能是∠BAD = ∠BDA，此时x = 125。综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，且x = 20或x = 35或x = 50或x = 125。

13. 如图,点D在$∠ABC$内,E为射线BC上一点,连接AE,DE,CD.
(1)如图①,$∠AED=∠BAE+∠CDE$.
①线段AB与CD有何位置关系?请说明理由.
②过点D作$DM// AE$交射线BC于点M,试说明:$∠CDM=∠BAE$.
(2)如图②,$∠AED=∠BAE-∠CDE$.若N为平面内一点,且$AN// DE$,请写出$∠NAB$与$∠CDE$的数量关系,并说明理由.

答案：

(1)如图①，过点E作EF // AB，则∠AEF = ∠BAE。

①AB // CD。理由如下：因为∠AED = ∠BAE + ∠CDE = ∠AEF + ∠FED，所以∠CDE = ∠FED，所以EF // CD。因为AB // EF，所以AB // CD。
②因为DM // AE，所以∠AED = ∠MDE。因为∠CDE = ∠FED，所以∠CDM = ∠AEF。因为∠AEF = ∠BAE，所以∠CDM = ∠BAE。
(2)分以下两种情况讨论：
①当点N在直线AB的右侧时，如图②，∠NAB = ∠CDE。理由如下：设AE与CD交于点F。因为∠CFE = 180° - ∠DFE = ∠CDE + ∠AED，所以∠AED = ∠CFE - ∠CDE。因为∠AED = ∠BAE - ∠CDE，所以∠BAE = ∠CFE，所以AB // CD，所以∠ABC = ∠DCE。因为AN // DE，所以∠ANB = ∠DEC。因为∠NAB = 180° - ∠ABC - ∠ANB，∠CDE = 180° - ∠DCE - ∠DEC，所以∠NAB = ∠CDE。
　
②当点N在直线AB的左侧时，如图③，∠NAB + ∠CDE = 180°。理由如下：
设直线AN与BC交于点H。由①可知，∠HAB = ∠CDE。因为∠NAB + ∠HAB = 180°，所以∠NAB + ∠CDE = 180°。综上所述，∠NAB与∠CDE的数量关系为∠NAB = ∠CDE或∠NAB + ∠CDE = 180°。

14. 如图,$\triangle ABC$的面积为18,$BD=2DC,AE=EC$,那么阴影部分的面积是$\frac{21}{5}$.

答案： $\frac{21}{5}$　解析:连接CF，
∵BD = 2DC，AE = EC，
∴设△DFC的面积为x，△EFC的面积为y。则△BFD的面积为2x，△AEF的面积为y。
∵△BEC的面积 = $\frac{1}{2}S_{\triangle ABC} = 9$，
∴3x + y = 9 ①。
∵△ADC的面积 = $\frac{1}{3}S_{\triangle ABC} = 6$，
∴x + 2y = 6 ②。①+2×②，得5x + 5y = 21，可得$x + y = \frac{21}{5}$。

15. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠ABC,∠ACB$的三等分线分别交于点E,D,F,G,若$∠BFC=132^{\circ },∠BGC=118^{\circ }$,求$∠A$的度数.
∵∠ABC，∠ACB的三等分线分别交于点E，D，F，G，∴∠CBG = ∠EBG = ∠ABE = $\frac{1}{3}$∠ABC，∠BCF = ∠ECF = ∠ACE = $\frac{1}{3}$∠ACB。在△BCG中，∠BGC = 118°，∴∠CBG + ∠BCE = 180° - ∠BGC = 180° - 118° = 62°，∴∠CBG + 2∠BCF = 62° ①。在△BCF中，∠BFC = 132°，∴∠BCF + ∠CBF = 180° - ∠BFC = 180° - 132° = 48°，∴∠BCF + 2∠CBG = 48° ②，①+②得，3∠BCF + 3∠CBG = 110°，即∠ACB + ∠ABC = 110°，∴∠A = 180° - (∠ACB + ∠ABC) = 180° - 110° = 70°。

答案：
∵∠ABC，∠ACB的三等分线分别交于点E，D，F，G，
∴∠CBG = ∠EBG = ∠ABE = $\frac{1}{3}$∠ABC，∠BCF = ∠ECF = ∠ACE = $\frac{1}{3}$∠ACB。在△BCG中，∠BGC = 118°，
∴∠CBG + ∠BCE = 180° - ∠BGC = 180° - 118° = 62°，
∴∠CBG + 2∠BCF = 62° ①。在△BCF中，∠BFC = 132°，
∴∠BCF + ∠CBF = 180° - ∠BFC = 180° - 132° = 48°，
∴∠BCF + 2∠CBG = 48° ②，①+②得，3∠BCF + 3∠CBG = 110°，即∠ACB + ∠ABC = 110°，
∴∠A = 180° - (∠ACB + ∠ABC) = 180° - 110° = 70°。