《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

(2025·遵义期末)【发现与探究】三角形的重心:
三角形三条中线的交点叫三角形的重心.重心是个物理名词.从效果上看,我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点,这一点叫物体的重心.图①中,如果取一块均匀的三角形纸板,用一根细 线绳从重心O处将三角形提起来,纸板就会处于水平状态.为什么会平衡呢?希望你经过下面的探索过程能得到答案.图②中,AD是△ABC的中线,△ACD与△ABD等底同高,面积相等,记作$S_{△ACD}=S_{△ABD}$.图③中,若△ABC三条中线AD,BE,CF交于点G,则GD是△GBC的中线,利用上述结论可得:$S_{△GCD}=S_{△GBD}$,同理$S_{△GBF}=S_{△GAF}$,$S_{△GAE}=S_{△GCE}$.
(1)图③中,若设$S_{△GCD}=x$,$S_{△GBF}=y$,$S_{△GAE}=z$,猜想x,y,z之间的数量关系,并证明你的猜想;
猜想：$x=y=z$
证明:由题意可知$S_{\triangle GCD}=S_{\triangle GBD}=x$,$S_{\triangle GBF}=S_{\triangle AGF}=y$,$S_{\triangle GAE}=S_{\triangle GCE}=z$,$\because S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}$,$\therefore 2y+x=2z+x$,$\therefore y=z$.$\because S_{\triangle ABE}=S_{\triangle CBE}$,$\therefore 2x+z=2y+z$,$\therefore x=y$,$\therefore x=y=z$.
(2)由(1)可知被三条中线分成的六个三角形面积相等,如果△ABC面积为m,用含有m的式子表示△BGC的面积为$\frac {1}{3}m$,$BG:GE=$$2:1$;
(3)图④中,G是△ABC的重心,点D,E在△ABC的边AB,AC上,BE,CD交于点G,$BE=9$,$CD=12$,$BE⊥CD$,求四边形AEGD的面积.
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答案： 综合与实践 确定匀质薄板的重心位置
(1)$x=y=z$.证明:由题意可知$S_{\triangle GCD}=S_{\triangle GBD}=x$,$S_{\triangle GBF}=S_{\triangle AGF}=y$,$S_{\triangle GAE}=S_{\triangle GCE}=z$,$\because S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}$,$\therefore 2y+x=2z+x$,$\therefore y=z$.$\because S_{\triangle ABE}=S_{\triangle CBE}$,$\therefore 2x+z=2y+z$,$\therefore x=y$,$\therefore x=y=z$.
(2)相等 $\frac {1}{3}m$ $2:1$
(3)$\because G$是$\triangle ABC$的重心,$\therefore BG:GE=CG:GD=2:1$.$\because BE=9$,$CD=12$,$\therefore BG=6$,$CG=8$.$\because BE\perp CD$,$\therefore S_{\triangle BGC}=\frac {1}{2}\times BG\times CG=\frac {1}{2}\times 6\times 8=24$,$\therefore S_{\triangle ABC}=3S_{\triangle BGC}=72$,$S_{\triangle BDG}=S_{\triangle CEG}=\frac {1}{2}S_{\triangle BGC}=12$,$S_{四边形AEGD}=72-12-12-24=24$.