《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

11. 已知分式$\frac{2}{3x^2 - 12},\frac{1}{x - 2}$,其中$m$是这两个分式中分母的公因式,$n$是这两个分式的最简公分母,且$\frac{n}{m} = 8$,则$x =$$\frac{2}{3}$.

答案： $\frac{2}{3}$ 解析: $\because \frac{2}{3x^2 - 12} = \frac{2}{3(x + 2)(x - 2)}$, $\therefore m = x - 2$, $n = 3(x + 2)\cdot$ $(x - 2)$. 由 $\frac{n}{m} = 8$ 得 $3(x + 2) = 8$, $\therefore x = \frac{2}{3}$.

12. 如图,大正方形的边长均为$a$,图①中白色小正方形的边长为$b$,图②中白色长方形的宽为$b$,设$m = \frac{\text{图①中阴影部分面积}}{\text{图②中阴影部分面积}}(a ＞ b ＞ 0)$,则$m$的取值范围为____1＜m＜2.

答案： $1 ＜ m ＜ 2$ 解析: 题图①的阴影部分的面积为 $a^2 - b^2$, 题图②的阴影部分的面积为 $a^2 - ab$, $\therefore m = \frac{a^2 - b^2}{a^2 - ab} = \frac{(a - b)(a + b)}{a(a - b)} = \frac{a + b}{a} = 1 + \frac{b}{a}$. $\because a ＞ b ＞ 0$, $\therefore 1 ＜ m ＜ 2$.

13. 甲工程队完成一项工程需要$(2a - 6)$天,乙工程队要比甲工程队多做8天才能完成这项工程.请用式子表示出甲、乙两工程队每天完成的工作量.如果两式的分母不同,请进行通分.

答案： 由题意, 得甲工程队每天完成的工作量为 $\frac{1}{2a - 6}$, 乙工程队每天完成的工作量为 $\frac{1}{2a - 6 + 8} = \frac{1}{2a + 2}$. $\because$ 最简公分母是 $2(a - 3)(a + 1)$, $\therefore \frac{1}{2a - 6} = \frac{a + 1}{2(a - 3)(a + 1)}$, $\frac{1}{2a + 2} = \frac{a - 3}{2(a - 3)(a + 1)}$.

14. (1)已知$x^2 - 4x - 1 = 0$,求$\frac{5x^2}{x^4 - 7x^2 + 1}$的值;$\frac{5}{11}$
(2)已知$|a - 4| + b^2 + \frac{1}{4} = -b$,求$\frac{a^3 - 4ab^2}{a^3 - 4a^2b + 4ab^2}$的值.$\frac{3}{5}$

答案：
(1) $\because x^2 - 4x - 1 = 0$, $\therefore x \neq 0$, $\therefore x - 4 - \frac{1}{x} = 0$, 即 $x - \frac{1}{x} = 4$, $\therefore x^2 - 2 +$ $\frac{1}{x^2} = 16$, 即 $x^2 + \frac{1}{x^2} = 18$, $\therefore \frac{5x^2}{x^4 - 7x^2 + 1} = \frac{5}{x^2 - 7 + \frac{1}{x^2}} = \frac{5}{18 - 7} = \frac{5}{11}$.
(2) $\because |a - 4| + b^2 + \frac{1}{4} = -b$, $\therefore |a - 4| + (b + \frac{1}{2})^2 = 0$. $\because |a - 4| \geq$ $0$, $(b + \frac{1}{2})^2 \geq 0$, $\therefore a = 4$, $b = -\frac{1}{2}$. 又 $\because$ 原式 $= \frac{a(a^2 - 4b^2)}{a(a^2 - 4ab + 4b^2)} =$ $\frac{(a + 2b)(a - 2b)}{(a - 2b)^2} = \frac{a + 2b}{a - 2b}$, $\therefore$ 当 $a = 4$, $b = -\frac{1}{2}$ 时, 原式 $= \frac{3}{5}$.

15. 已知$a,b$为实数,且$ab = 3,a + b = 4$.
(1)通分:$\frac{a - 1}{a + 1},\frac{b - 1}{b + 1}$;$\frac{a - 1}{a + 1} = \frac{(a - 1)(b + 1)}{(a + 1)(b + 1)} = \frac{ab + a - b - 1}{ab + a + b + 1}$，$\frac{b - 1}{b + 1} = \frac{(a + 1)(b - 1)}{(a + 1)(b + 1)} = \frac{ab - a + b - 1}{ab + a + b + 1}$
(2)试求$\frac{a - 1}{a + 1}$的值.$\frac{1}{2}$或$0$

答案：
(1) $\frac{a - 1}{a + 1} = \frac{(a - 1)(b + 1)}{(a + 1)(b + 1)} = \frac{ab + a - b - 1}{ab + a + b + 1}$, $\frac{b - 1}{b + 1} = \frac{(a + 1)(b - 1)}{(a + 1)(b + 1)} = \frac{ab - a + b - 1}{ab + a + b + 1}$.
(2) 由
(1), 得 $\frac{a - 1}{a + 1} = \frac{ab + a - b - 1}{ab + a + b + 1}$. 由 $ab = 3$, $a + b = 4$, 得 $a - b = \pm 2$, 所以 $\frac{a - 1}{a + 1} = \frac{1}{2}$ 或 0.

16. 若$\frac{n - 13}{5n + 6}$为可约分数,则自然数$n$的最小值是____84.

答案： 84 解析: 因为 $\frac{n - 13}{5n + 6}$ 可约分, 不妨设分子与分母有公因数 $a$, 显然 $a ＞ 1$. 设分子 $n - 13 = ak_1$ ①, 分母 $5n + 6 = ak_2$ ②, 其中 $k_1$, $k_2$ 为非零自然数. 由①得 $n = 13 + ak_1$, 代入②得 $5(13 + ak_1) + 6 = ak_2$, 即 $71 +$ $5ak_1 = ak_2$, 所以 $a(k_2 - 5k_1) = 71$. 由于 71 是质数, 且 $a ＞ 1$, 所以 $a =$ 71, 所以 $n = 71k_1 + 13$. 故 $n$ 的最小值为 84.

17. “约去”指数:
如:$\frac{3^3 + 1^3}{3^3 + 2^3} = \frac{3 + 1}{3 + 2},\frac{5^3 + 2^3}{5^3 + 3^3} = \frac{5 + 2}{5 + 3}\cdots\cdots$
你见过这样的约分吗? 面对这荒谬的约分,一笑之后,再认真检验,发现其结果竟然正确! 这是什么原因? 仔细观察式子,我们可作如下猜想:$\frac{a^3 + b^3}{a^3 + (a - b)^3} = \frac{a + b}{a + (a - b)}$,试说明此猜想的正确性.(参考公式:$x^3 + y^3 = (x + y)\cdot(x^2 - xy + y^2)$)
$\because \frac{a^3 + b^3}{a^3 + (a - b)^3} = \frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{(a + a - b)(a^2 - a(a - b) + (a - b)^2)} = \frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{(2a - b)(a^2 - a^2 + ab + a^2 - 2ab + b^2)} = \frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{(2a - b)(a^2 - ab + b^2)} = \frac{a + b}{a + (a - b)}$，$\therefore$ 猜想正确

答案： $\because \frac{a^3 + b^3}{a^3 + (a - b)^3} = \frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{(a + a - b)(a^2 - a^2 + ab + a^2 - 2ab + b^2)} = \frac{a + b}{a + (a - b)}$, $\therefore \frac{a^3 + b^3}{a^3 + (a - b)^3} = \frac{a + b}{a + (a - b)}$ 正确.