《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

18. （12分）（2025·贺州期末）如图，OC平分∠AOB，P为OC上的一点，∠MPN的两边分别与OA，OB相交于点M，N.
（1）如图①，若∠AOB=90°，∠MPN=90°，过点P作PE⊥OA于点E，作PF⊥OB于点F，请判断PM与PN的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若∠AOB=120°，∠MPN=60°，判断线段OP，OM，ON的数量关系，并说明理由.

答案：
18.
(1)PM = PN,理由如下:
∵OP平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB,
∴PE = PF,∠PEM = ∠PFN = 90°.
∵∠AOB = 90°,∠MPN = 90°,易得∠PMO + ∠PNO = 180°.
∵∠PMO + ∠PMA = 180°,
∴∠PMA = ∠PNO,
∴在△PEM和△PFN中$\begin{cases} \angle PME = \angle PNF \\ \angle PEM = \angle PFN \\ PE = PF \end{cases}$,
∴△PEM≌△PFN(AAS),
∴PM = PN.
(2)OP = OM + ON.理由如下:过点P作PE⊥OA于点E,过点P作PF⊥OB于点F.
∵OC平分∠AOB,
∴PE = PF,∠PEM = ∠PFN = 90°.
∵∠AOB = 120°,∠MPN = 60°,易得∠PMO + ∠PNO = 180°.
∵∠PNO + ∠PNF = 180°,
∴∠PMO = ∠PNF,
在△PME和△PNF中$\begin{cases} \angle PME = \angle PNF \\ \angle PEM = \angle PFN \\ PE = PF \end{cases}$,
∴△PME≌△PNF(AAS),
∴EM = FN.
∵∠AOB = 120°,OP平分∠AOB,
∴∠AOP = ∠BOP = 60°,
∴∠EPO = ∠FPO = 30°,
∴OP = 2OE,OP = 2OF,
∴OE = OF,
∴OP = OE + OF = OM - ME + ON + NF = OM + ON.

19. （14分）新趋势 项目式学习 问题背景：
（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°.探究图中线段BE，EF，DF之间的数量关系.某同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG=BE.连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______EF = BE + DF.
探索延伸：
（2）如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，上述结论是否仍然成立？并说明理由.
实际应用：
（3）如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/时的速度前进.2小时后，甲、乙两舰艇分别到达E，F处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离.

答案： 19.
(1)EF = BE + DF　解析:
∵在△ABE和△ADG中$\begin{cases} BE = DG \\ \angle B = \angle ADG \\ AB = AD \end{cases}$,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE = AG,∠BAE = ∠DAG.
∵∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD = 60°,
∴∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD - ∠EAF = 60°,
∴∠EAF = ∠GAF.在△AEF和△AGF中$\begin{cases} AE = AG \\ \angle EAF = \angle GAF \\ AF = AF \end{cases}$,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF = FG.
∵FG = DG + DF = BE + DF,
∴EF = BE + DF.
(2)结论EF = BE + DF仍然成立.理由:延长FD到点G,使DG = BE,连接AG.
∵∠B + ∠ADC = 180°,∠ADC + ∠ADG = 180°,
∴∠B = ∠ADG.在△ABE和△ADG中$\begin{cases} BE = DG \\ \angle B = \angle ADG \\ AB = AD \end{cases}$,
∴△ABE≌△ADG (SAS),
∴AE = AG,∠BAE = ∠DAG.
∵∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD,
∴∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD - ∠EAF = ∠EAF,
∴∠EAF = ∠GAF.在△AEF和△AGF中$\begin{cases} AE = AG \\ \angle EAF = \angle GAF \\ AF = AF \end{cases}$,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF = FG.
∵FG = DG + DF = BE + DF,
∴EF = BE + DF.
(3)连接EF,延长AE,BF相交于点C.
∵∠AOB = 30° + 90° + (90° - 70°) = 140°,∠EOF = 70°,
∴∠EOF = $\frac{1}{2}$∠AOB.又
∵OA = OB,∠OAC + ∠OBC = (90° - 30°) + (70° + 50°) = 180°,
∴符合探索延伸中的条件,
∴结论EF = AE + BF成立,即EF = 2×(60 + 80) = 280(海里).
答:此时两舰艇之间的距离是280海里