《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

1. (2023·重庆中考)如图,在$Rt△ABC$中,$∠BAC=90^{\circ },AB=AC$,点 D 为 BC 上一点,连接 AD.过点 B 作$BE⊥AD$于点 E,过点 C 作$CF⊥AD$交 AD 的延长线于点 F.若$BE=4,CF=1$,则 EF 的长度为____3____.

答案： 3 解析:
∵∠BAC = 90°,
∴∠EAB + ∠EAC = 90°.
∵BE⊥AD,CF⊥AD,
∴∠AEB = ∠AFC = 90°,
∴∠ACF + ∠EAC = 90°,
∴∠ACF = ∠BAE.在△AFC和△BEA中, $\left\{\begin{array}{l} ∠ACF = ∠BAE, \\ ∠CFA = ∠AEB, \\ CA = AB, \end{array}\right.$
∴△AFC≌△BEA (AAS),
∴AF = BE = 4,AE = CF = 1,
∴EF = AF - AE = 4 - 1 = 3.

2. 如图,$AE⊥AB$,且$AE=AB,BC⊥CD$,且$BC=CD,EF⊥AC,BG⊥AC,DH⊥AC$,垂足分别是F,G,H,若$EF=6,BG=3,DH=4$,则图中实线所围成的图形的面积是____50.

答案： 50 解析:
∵∠EAF + ∠BAG = 90°,∠EAF + ∠AEF = 90°,
∴∠BAG = ∠AEF.在△AEF和△BAG中, $\left\{\begin{array}{l} ∠F = ∠AGB = 90°, \\ ∠AEF = ∠BAG, \\ AE = BA, \end{array}\right.$
∴△AEF≌△BAG (AAS).同理△BCG≌△CDH,
∴AF = BG,AG = EF,GC = DH,BG = CH.
∵梯形DEFH的面积 = $\frac{1}{2}$(EF + DH)·FH = 80,$S_{\triangle AEF} = S_{\triangle ABG} = \frac{1}{2}$AF·EF = 9,$S_{\triangle BCG} = S_{\triangle CDH} = \frac{1}{2}$CH·DH = 6,
∴图中实线所围成的图形的面积为80 - 2×9 - 2×6 = 50.

3. 已知 CD 是经过$∠BCA$顶点 C 的一条直线,$CA=CB$. E,F 分别是直线 CD 上两点,且$∠BEC=∠CFA=∠α$.
(1)若直线 CD 经过$∠BCA$的内部,且 E,F 在射线 CD 上,请解决下面问题:
①如图①,若$∠BCA=90^{\circ },∠α=90^{\circ }$,求证:$BE=CF;$
②如图②,若$∠α+∠BCA=180^{\circ }$,探索三条线段 EF,BE,AF 的数量关系,并证明你的结论.EF = BE - AF
(2)如图③,若直线 CD 经过$∠BCA$的外部,$∠α=∠BCA$,题(1)②中的结论是否仍然成立? 若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确的结论再给予证明.不成立.正确结论为EF = BE + AF

答案：
(1) ①
∵∠ACB = 90°,∠BEC = ∠AFC = 90°,
∴∠BCE + ∠ACF = 90°,∠CBE + ∠BCE = 90°,
∴∠ACF = ∠CBE.在△BCE和△CAF中, $\left\{\begin{array}{l} ∠EBC = ∠FCA, \\ ∠BEC = ∠CFA, \\ BC = CA, \end{array}\right.$
∴△BCE≌△CAF(AAS),
∴BE = CF. ② EF = BE - AF.证明如下:
∵∠BEC = ∠CFA = ∠α,∠α + ∠ACB = 180°,
∴∠CBE = 180° - ∠BCE - ∠α,∠ACF = ∠ACB - ∠BCE = 180° - ∠α - ∠BCE,
∴∠ACF = ∠CBE.在△BCE和△CAF中, $\left\{\begin{array}{l} ∠EBC = ∠FCA, \\ ∠BEC = ∠CFA, \\ BC = CA, \end{array}\right.$
∴△BCE≌△CAF(AAS),
∴BE = CF,CE = AF,
∴EF = CF - CE = BE - AF.
(2) 不成立.正确结论为EF = BE + AF.证明如下:
∵∠BEC = ∠CFA = ∠α,∠α = ∠BCA,又
∵∠EBC + ∠BCE + ∠BEC = 180°,∠BCE + ∠ACF + ∠ACB = 180°,
∴∠EBC + ∠BCE = ∠BCE + ∠ACF,
∴∠EBC = ∠ACF.在△BCE和△CAF中, $\left\{\begin{array}{l} ∠EBC = ∠FCA, \\ ∠BEC = ∠CFA, \\ BC = CA, \end{array}\right.$
∴△BCE≌△CAF (AAS),
∴AF = CE,BE = CF.
∵EF = CE + CF,
∴EF = BE + AF.