《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

10. 如图①,$∠ACB=90^{\circ }$,点D在AC上,$DE⊥AB$于点E,交BC的延长线于点F,$DE=EB,$$EG=EB.$
(1)求证:$AG=DF;$
(2)过点G作$GH⊥AD$,垂足为H,与DE的延长线交于点M,如图②,找出图中与AB相等的线段,并证明.

(1) ∵ $ DE \perp AB $，∴ $ \angle DEG = \angle DEB = 90 ^ { \circ } $。又 $ DE = DE $，$ EG = EB $，∴ $ \triangle DEG \cong \triangle DEB ( SAS ) $，∴ $ DG = DB $，$ \angle DGB = \angle DBG $。取 $ GD $ 的中点 $ P $，连接 $ EP $，在 $ \triangle EDP $ 和 $ \triangle EGP $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { ED = EG, } \\ { EP = EP, } \\ { DP = GP, } \end{array} \right. $ ∴ $ \triangle EDP \cong \triangle EGP ( SSS ) $，∴ $ \angle EGD = \angle EDG $。又 $ \angle DEG = 90 ^ { \circ } $，∴ $ \angle EGD = \angle EDG = \angle EDB = \angle EBD = 45 ^ { \circ } $，∴ $ \angle AGD = \angle FDB = 135 ^ { \circ } $。∵ $ \angle ACB = 90 ^ { \circ } $，$ \angle AED = 90 ^ { \circ } $，$ \angle ADE = \angle FDC $，∴ $ \angle A = \angle F $。在 $ \triangle ADG $ 和 $ \triangle FBD $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle A = \angle F, } \\ { \angle AGD = \angle FDB, } \\ { DG = BD, } \end{array} \right. $ ∴ $ \triangle ADG \cong \triangle FBD ( AAS ) $，∴ $ AG = DF $。
(2) $AB=DM$。证明：∵ $ DE = EB $，$ EG = EB $，∴ $ DE = EB = EG $。∵ $ DE \perp AB $，∴ $ \angle GEM = 90 ^ { \circ } $。∵ $ GH \perp AD $，∴ $ \angle AHG = 90 ^ { \circ } $。又 ∵ $ \angle AGH = \angle EGM $，∴ $ \angle A = \angle M $。在 $ \triangle AED $ 和 $ \triangle MEG $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle A = \angle M, } \\ { \angle AED = \angle MEG, } \\ { DE = GE, } \end{array} \right. $ ∴ $ \triangle AED \cong \triangle MEG ( AAS ) $，∴ $ AE = EM $，∴ $ AE + EB = EM + DE $，即 $ AB = DM $。

答案：
(1)
∵ $ DE \perp AB $，
∴ $ \angle DEG = \angle DEB = 90 ^ { \circ } $。又 $ DE = DE $，$ EG = EB $，
∴ $ \triangle DEG \cong \triangle DEB ( SAS ) $，
∴ $ DG = DB $，$ \angle DGB = \angle DBG $。取 $ GD $ 的中点 $ P $，连接 $ EP $，在 $ \triangle EDP $ 和 $ \triangle EGP $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { ED = EG, } \\ { EP = EP, } \\ { DP = GP, } \end{array} \right. $
∴ $ \triangle EDP \cong \triangle EGP ( SSS ) $，
∴ $ \angle EGD = \angle EDG $。又 $ \angle DEG = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle EGD = \angle EDG = \angle EDB = \angle EBD = 45 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle AGD = \angle FDB = 135 ^ { \circ } $。
∵ $ \angle ACB = 90 ^ { \circ } $，$ \angle AED = 90 ^ { \circ } $，$ \angle ADE = \angle FDC $，
∴ $ \angle A = \angle F $。在 $ \triangle ADG $ 和 $ \triangle FBD $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle A = \angle F, } \\ { \angle AGD = \angle FDB, } \\ { DG = BD, } \end{array} \right. $
∴ $ \triangle ADG \cong \triangle FBD ( AAS ) $，
∴ $ AG = DF $。
(2) $ AB = DM $。证明：
∵ $ DE = EB $，$ EG = EB $，
∴ $ DE = EB = EG $。
∵ $ DE \perp AB $，
∴ $ \angle GEM = 90 ^ { \circ } $。
∵ $ GH \perp AD $，
∴ $ \angle AHG = 90 ^ { \circ } $。又
∵ $ \angle AGH = \angle EGM $，
∴ $ \angle A = \angle M $。在 $ \triangle AED $ 和 $ \triangle MEG $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle A = \angle M, } \\ { \angle AED = \angle MEG, } \\ { DE = GE, } \end{array} \right. $
∴ $ \triangle AED \cong \triangle MEG ( AAS ) $，
∴ $ AE = EM $，
∴ $ AE + EB = EM + DE $，即 $ AB = DM $。

11. 新趋势 项目式学习 (南京中考)【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.
【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示:在$△ABC$和$△DEF$中,$AC=DF,BC=EF,$$∠B=∠E$,然后对$∠B$进行分类,可分为“$∠B$是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
【深入探究】
第一种情况:当$∠B$是直角时,$△ABC\cong $$△DEF.$
(1)如图①,在$△ABC$和$△DEF$中,$AC=DF,$$BC=EF,∠B=∠E=90^{\circ }$,根据____,可以知道$Rt△ABC\cong Rt△DEF.$


第二种情况:当$∠B$是钝角时,$△ABC\cong $$△DEF.$
(2)如图②,在$△ABC$和$△DEF$中,$AC=DF,$$BC=EF,∠B=∠E$,且$∠B,∠E$都是钝角,求证:$△ABC\cong △DEF.$
第三种情况:当$∠B$是锐角时,$△ABC$和$△DEF$不一定全等.
(3)在$△ABC$和$△DEF$中,$AC=DF,BC=EF,$$∠B=∠E$,且$∠B,∠E$都是锐角,请你用尺规在图③中作出$△DEF$,使$△DEF$和$△ABC$不全等.(不写作法,保留作图痕迹)
(4)$∠B$还要满足什么条件,就可以使$△ABC\cong △DEF$? 请直接写出结论:在$△ABC$和$△DEF$中,$AC=DF,BC=EF,∠B=$$∠E$,且$∠B,∠E$都是锐角,若____,则$△ABC\cong △DEF.$

答案：

(1) $ HL $
(2) 如图，过点 $ C $ 作 $ CG \perp AB $，交 $ AB $ 的延长线于点 $ G $，过点 $ F $ 作 $ FH \perp DE $，交 $ DE $ 的延长线于点 $ H $，

∵ $ \angle ABC = \angle DEF $，且 $ \angle ABC $，$ \angle DEF $ 都是钝角，
∴ $ 180 ^ { \circ } - \angle ABC = 180 ^ { \circ } - \angle DEF $，即 $ \angle CBG = \angle FEH $。在 $ \triangle CBG $ 和 $ \triangle FEH $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle G = \angle H = 90 ^ { \circ }, } \\ { \angle CBG = \angle FEH, } \\ { BC = EF, } \end{array} \right. $
∴ $ \triangle CBG \cong \triangle FEH ( AAS ) $，
∴ $ CG = FH $。在 $ Rt\triangle ACG $ 和 $ Rt\triangle DFH $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { AC = DF, } \\ { CG = FH, } \end{array} \right. $
∴ $ Rt\triangle ACG \cong Rt\triangle DFH ( HL ) $，
∴ $ \angle A = \angle D $。在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DEF $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle ABC = \angle DEF, } \\ { \angle A = \angle D, } \\ { AC = DF, } \end{array} \right. $
∴ $ \triangle ABC \cong \triangle DEF ( AAS ) $。
(3) 如图，$ \triangle DEF $ 和 $ \triangle ABC $ 不全等。

(4) $ \angle B \geq \angle A $