《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

1. (2024·营口期中)如图所示, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = BC $, $ \angle B = 120^{\circ} $, $ AB $ 的垂直平分线交 $ AC $ 于点 $ D $, 若 $ AC = 6 \mathrm{cm} $, 则 $ AD = $ (A)

A. $ 2 \mathrm{cm} $
B. $ 3 \mathrm{cm} $
C. $ 4 \mathrm{cm} $
D. $ 2.8 \mathrm{cm} $

答案： A 解析: 连接 $ BD $，$\because AB = BC$，$\angle ABC = 120^{\circ}$，$\therefore \angle A = \angle C = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle ABC) = 30^{\circ}$。$\because DE$ 是 $ AB $ 的垂直平分线，$\therefore AD = BD$，$\angle A = \angle ABD = 30^{\circ}$，$\therefore \angle CBD = 120^{\circ} - 30^{\circ} = 90^{\circ}$，$\therefore DC = 2BD$，$\therefore DC = 2AD$。$\because AC = 6cm$，$\therefore AD = \frac{1}{3} × 6 = 2(cm)$。故选 A。

2. (2024·烟台期末)如图, 点 $ B $ 为线段 $ AQ $ 上的动点, $ AQ = 8 $, 以 $ AB $ 为边作等边 $ \triangle ABC $, 以 $ BC $ 为底边作等腰 $ \triangle PCB $, 则 $ PQ $ 的最小值为______.

答案：
4 解析: 如图，连接 $ AP $，$ PQ $，$\because \triangle ABC $ 是等边三角形，$\therefore AB = AC$，$\angle CAB = 60^{\circ}$。
在 $\triangle ABP$ 和 $\triangle ACP$ 中，$\begin{cases} AB = AC, \\ BP = CP, \\ AP = AP, \end{cases}$
$\therefore \triangle ABP \cong \triangle ACP(SSS)$，$\therefore \angle CAP = \angle BAP$，
$\therefore \angle PAQ = 30^{\circ}$，$\therefore$ 点 $ P $ 在射线 $ AP $ 上运动，$\therefore$ 当 $ QP \perp AP $ 时，$ PQ $ 的值最小，此时 $ PQ = \frac{1}{2}AQ = \frac{1}{2} × 8 = 4$。

3. (2024·临沂期中)如图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = AC = 6 $, 则 $ \triangle ABC $ 的面积为 ( )


A. 4
B. 6
C. 9
D. 16

答案：
C 解析: 如图，延长 $ CA $，过 $ B $ 作 $ BD \perp AC $ 于 $ D $。$\because AB = AC = 6$，$\angle DAB = \angle ABC + \angle ACB = 30^{\circ}$，$\therefore BD = \frac{1}{2}AB = 3$，$\therefore \triangle ABC$ 的面积 $ = \frac{1}{2} × AC \cdot BD = \frac{1}{2} × 6 × 3 = 9$。故选 C。

4. (2024·武汉月考)如图, 在 $ \mathrm{Rt} \triangle ABC $ 中, $ \angle ACB = 90^{\circ} $, $ CA = CB $, $ \angle BAD = \angle ADE = 60^{\circ} $, $ DE = 3 $, $ AB = 10 $, $ CE $ 平分 $ \angle ACB $, $ DE $ 与 $ CE $ 相交于点 $ E $, 则 $ AD $ 的长为______.

答案：
7 解析: 延长 $ DE $ 交 $ AB $ 于 $ F $，延长 $ CE $ 交 $ AB $ 于 $ G $，如图所示。$\because \angle BAD = \angle ADE = 60^{\circ}$，$\therefore AF = DF$，$\therefore \triangle ADF$ 是等边三角形，$\therefore AD = AF = DF$，$\angle AFD = 60^{\circ}$。$\because CA = CB$，$ CE $ 平分 $\angle ACB$，$\therefore CG \perp AB$，即 $\angle CGB = 90^{\circ}$，$ AG = \frac{1}{2}AB = 5$。设 $ AD = AF = DF = a $，在 $ Rt \triangle GEF $ 中，$\angle AFD = 60^{\circ}$，$ EF = DF - DE = a - 3 $，则 $ GF = \frac{1}{2}(a - 3) $，由 $ AF - GF = AG $ 得 $ a - \frac{1}{2}(a - 3) = 5 $，解得 $ a = 7 $。

5. 如图, $ \angle AOB = 60^{\circ} $, 点 $ P $ 在 $ OA $ 上, $ PC = PD $, 若 $ OC = 5 \mathrm{cm} $, $ OD = 8 \mathrm{cm} $, 则 $ OP $ 的长是 (A)

A. $ 13 \mathrm{cm} $
B. $ 12 \mathrm{cm} $
C. $ 8 \mathrm{cm} $
D. $ 5 \mathrm{cm} $

答案： A 解析: 过点 $ P $ 作 $ PE \perp OB $ 于点 $ E $，则 $ PE \perp CD $。$\because PC = PD$，$\therefore \triangle PCD $ 为等腰三角形，$\therefore$ 点 $ E $ 为 $ CD $ 的中点。$\because OC = 5cm$，$ OD = 8cm $，$\therefore CD = 3cm$，$\therefore OE = 6.5cm$。$\because \angle AOB = 60^{\circ}$，$\therefore \angle OPE = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$，$\therefore OP = 2OE = 13cm$。故选 A。

6. (鄂尔多斯中考改编)如图, $ \angle AOE = 15^{\circ} $, $ OE $ 平分 $ \angle AOB $, $ DE // OB $ 交 $ OA $ 于点 $ D $, $ EC \perp OB $, 垂足为 $ C $. 若 $ EC = 2 $, 则 $ OD $ 的长为______4.

答案： 4 解析: 过点 $ E $ 作 $ EH \perp OA $ 于点 $ H $，$\because OE $ 平分 $\angle AOB$，$ EC \perp OB $，$\therefore EH = EC $。$\because \angle AOE = 15^{\circ}$，$ OE $ 平分 $\angle AOB$，$\therefore \angle AOC = 2 \angle AOE = 30^{\circ}$。$\because DE // OB$，$\therefore \angle ADE = 30^{\circ}$，$\therefore DE = 2HE = 2EC$。$\because EC = 2$，$\therefore DE = 4$。$\because \angle ADE = 30^{\circ}$，$\angle AOE = 15^{\circ}$，$\therefore \angle DEO = 15^{\circ}$，$\therefore \angle AOE = \angle DEO$，$\therefore OD = DE = 4$。

7. 已知 $ CD $ 是 $ \triangle ABC $ 的高, $ \angle BAC = 2 \angle BCD $, $ P $ 是直线 $ BC $ 上一点.
(1) 当点 $ P $ 在 $ CB $ 的延长线上, 且 $ \angle APC = 60^{\circ} $ 时, 如图①, 求证: $ PB + PC = PA $.
(2) 当点 $ P $ 在边 $ BC $ 上, 且 $ \angle APC = 60^{\circ} $ 时, 如图②; 当点 $ P $ 在边 $ BC $ 上, 且 $ \angle APC = 120^{\circ} $ 时, 如图③, 请直接写出线段 $ PB $, $ PC $, $ PA $ 之间的数量关系, 不需要证明.

答案：

(1) 如图①，过点 $ A $ 作 $ AH \perp BC $，垂足为 $ H $。$\because CD $ 是 $\triangle ABC $ 的高，$\therefore \angle AHB = \angle AHC = \angle BDC = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BAH + \angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle BCD + \angle ABC = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BAH = \angle BCD$。$\because \angle BAC = 2 \angle BCD$，$\therefore \angle BAC = 2 \angle BAH$。$\therefore \angle BAH = \angle CAH$。在 $\triangle ABH$ 和 $\triangle ACH$ 中，$\begin{cases} \angle AHB = \angle AHC, \\ AH = AH, \\ \angle BAH = \angle CAH, \end{cases}$ $\therefore \triangle ABH \cong \triangle ACH$，$\therefore BH = CH$，$\angle APH = 60^{\circ}$，$\therefore \angle PAH = 30^{\circ}$，$\therefore PA = 2PH$。$\because PB = PH - BH$，$ PC = PH + HC $，$\therefore PB + PC = PH - BH + PH + CH = 2PH = PA $。

(2) 当点 $ P $ 在边 $ BC $ 上，且 $\angle APC = 60^{\circ}$ 时，$ PC - PB = PA $；当点 $ P $ 在边 $ BC $ 上，且 $\angle APC = 120^{\circ}$ 时，$ PB - PC = PA $。 解析: 当点 $ P $ 在边 $ BC $ 上，且 $\angle APC = 60^{\circ}$ 时，如图②，过点 $ A $ 作 $ AH \perp BC $，垂足为 $ H $。$\because CD $ 是 $\triangle ABC $ 的高，$\therefore \angle AHB = \angle AHC = \angle BDC = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BAH + \angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle BCD + \angle ABC = 90^{\circ}$。$\therefore \angle BAH = \angle BCD$。$\because \angle BAC = 2 \angle BCD$，$\therefore \angle BAC = 2 \angle BAH$。$\therefore \angle BAH = \angle CAH$。在 $\triangle ABH$ 和 $\triangle ACH$ 中，$\begin{cases} \angle AHB = \angle AHC, \\ AH = AH, \\ \angle BAH = \angle CAH, \end{cases}$ $\therefore \triangle ABH \cong \triangle ACH$，$\therefore BH = CH$，$\because \angle APC = 60^{\circ}$，$\therefore \angle PAH = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$，$\therefore PA = 2PH$。$\because PB = BH - PH$，$ PC = PH + HC $，$\therefore PC - PB = PH + HC - BH + PH = 2PH = PA $，即 $ PC - PB = PA $。当点 $ P $ 在边 $ BC $ 上，且 $\angle APC = 120^{\circ}$ 时，如图③，过点 $ A $ 作 $ AH \perp BC $，垂足为 $ H $。$\because CD $ 是 $\triangle ABC $ 的高，$\therefore \angle AHB = \angle AHC = \angle BDC = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BAH + \angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle BCD + \angle ABC = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BAH = \angle BCD$。$\because \angle BAC = 2 \angle BCD$，$\therefore \angle BAC = 2 \angle BAH$，$\therefore \angle BAH = \angle CAH$。在 $\triangle ABH$ 和 $\triangle ACH$ 中，$\begin{cases} \angle AHB = \angle AHC, \\ AH = AH, \\ \angle BAH = \angle CAH, \end{cases}$ $\therefore \triangle ABH \cong \triangle ACH$，$\therefore BH = CH$。$\because \angle APC = 120^{\circ}$，$\therefore \angle APB = 60^{\circ}$，$\therefore \angle HAP = 30^{\circ}$，$\therefore PA = 2PH$。$\because PB = BH + PH$，$ PC = HC - PH $，$\therefore PB - PC = BH + PH - HC + PH = 2PH = PA $，即 $ PB - PC = PA $。