《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

5. 一题多解 探究与发现:如图①所示的图形,像我们常见的飞镖,我们把这样的图形叫作“飞镖图”.
(1)观察图①,说明∠BOC与∠A,∠B,∠C之间的数量关系.
(2)请你利用以上结论,解决以下问题:
①如图②,把一块三角尺XYZ放置在△ABC上,使三角尺的两条直角边XY,XZ恰好经过点B,C,若∠A=40°,则∠ABX+∠ACX=50°;
②如图③,DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若 ∠DAE=40°,∠DBE=130°,求∠DCE的度数;
③如图④,∠ABC=100°,∠DEF=130°,求 ∠A+∠C+∠D+∠F的度数.

答案：
(1)如图①，延长BO交AC于点D，根据外角性质，可得∠A + ∠B = ∠BDC，∠BDC + ∠C = ∠BOC，
∴∠BOC = ∠A + ∠B + ∠C。
一题多解
如图②，作射线AO。
∵∠3是△ABO的外角，
∴∠1 + ∠B = ∠3。
∵∠4是△AOC的外角，
∴∠2 + ∠C = ∠4，
∴∠1 + ∠B + ∠2 + ∠C = ∠3 + ∠4，即∠BOC = ∠BAC + ∠B + ∠C。
(2)①50°
②
∵∠A = 40°，∠DBE = 130°，
∴∠ADB + ∠AEB = 130° - 40° = 90°。
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴∠ADC = 1/2∠ADB，∠AEC = 1/2∠AEB，
∴∠ADC + ∠AEC = 1/2(∠ADB + ∠AEB) = 45°，
∴∠DCE = ∠A + ∠ADC + ∠AEC = 40° + 45° = 85°。
③如图③，连接AD，则∠F + ∠2 + ∠3 = ∠DEF，∠1 + ∠4 + ∠C = ∠ABC，
∴∠F + ∠2 + ∠3 + ∠1 + ∠4 + ∠C = ∠DEF + ∠ABC = 130° + 100° = 230°，即∠BAF + ∠C + ∠CDE + ∠F = 230°。

6. 动手操作:一张三角形的纸片ABC,沿DE折叠,使点A落在点$A'$处.
(1)如图①,若$∠A=40^{\circ }$,则$∠1+∠2=$80$^{\circ }$;若$∠A=n^{\circ }$,则$∠1+∠2=$2n$^{\circ }$;
(2)如图②,把$△ABC$折叠后,$BA'$平分$∠ABC,$ $CA'$平分$∠ACB$,若$∠1+∠2=108^{\circ }$,则$∠BA'C$的度数为117°.

答案：
(1)80　2n。解析：
∵点A沿DE折叠落在点A'的位置，
∴∠ADE = ∠A'DE，∠AED = ∠A'ED，
∴∠ADE = 1/2(180° - ∠1)，∠AED = 1/2(180° - ∠2)。在△ADE中，∠A + ∠ADE + ∠AED = 180°，
∴40° + 1/2(180° - ∠1) + 1/2(180° - ∠2) = 180°，整理得∠1 + ∠2 = 80°；同理∠A = n°，则∠1 + ∠2 = 2n°。
(2)117°。解析：由
(1)得∠1 + ∠2 = 2∠A，
∴2∠A = 108°，
∴∠A = 54°。
∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，
∴∠A'BC + ∠A'CB = 1/2(∠ABC + ∠ACB) = 1/2(180° - ∠A) = 90° - 1/2∠A，
∴∠BA'C = 180° - (∠A'BC + ∠A'CB) = 180° - (90° - 1/2∠A) = 90° + 1/2∠A = 90° + 1/2 × 54° = 117°。

7. 在$Rt△ABC$中,$∠C=90^{\circ }$,点D,E分别是 $△ABC$的边AC,BC上的点,点P是一动点.令 $∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.$
(1)若点P在线段AB上,如图①所示,且 $∠α=50^{\circ }$,则$∠1+∠2=$140°.
(2)若点P在边AB上运动,如图②所示,则 $∠α,∠1,∠2$之间的关系为∠1 + ∠2 = 90° + ∠α.
(3)若点P运动到边AB的延长线上,如图③所示,则$∠α,∠1,∠2$之间有何关系？猜想并说明理由.
(4)若点P运动到$△ABC$外,如图④所示,则 $∠α,∠1,∠2$之间的关系为∠2 = 90° + ∠1 - ∠α.

答案：
(1)140°。解析：
∵∠1 + ∠2 + ∠CDP + ∠CEP = 360°，∠C + ∠α + ∠CDP + ∠CEP = 360°，
∴∠1 + ∠2 = ∠C + ∠α。
∵∠C = 90°，∠α = 50°，
∴∠1 + ∠2 = 140°。
(2)∠1 + ∠2 = 90° + ∠α
(3)∠1 = 90° + ∠2 + ∠α。理由如下：设BC与PD交于点M。
∵∠2 + ∠α = ∠DME，∠DME + ∠C = ∠1，
∴∠1 = ∠C + ∠2 + ∠α = 90° + ∠2 + ∠α。
(4)∠2 = 90° + ∠1 - ∠α。解析：设PE与AC交于点F。
∵∠PFD = ∠EFC，
∴180° - ∠PFD = 180° - ∠EFC，
∴∠α + 180° - ∠1 = ∠C + 180° - ∠2，
∴∠2 = 90° + ∠1 - ∠α。