《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

1. (海南中考)如图,已知$AB// CD$,直线AC和BD相交于点E,若$∠ABE=70^{\circ },∠ACD=40^{\circ }$,则$∠AEB$等于(C)

A. $50^{\circ }$
B. $60^{\circ }$
C. $70^{\circ }$
D. $80^{\circ }$

答案： 1.C

2. (1)如图①,在$Rt△ABC$中,$∠ACB=90^{\circ },$ $CD⊥AB$,垂足为D,$∠ACD$与$∠B$有什么关系？为什么？
∠ACD = ∠B。∵在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，∴∠ACD + ∠A = ∠B + ∠A = 90°，∴∠ACD = ∠B。
(2)如图②,在$Rt△ABC$中,$∠C=90^{\circ }$,点D, E分别在AC,AB上,且$∠ADE=∠B$,判断 $△ADE$的形状是什么？为什么？
△ADE是直角三角形。∵在Rt△ABC中，∠C = 90°，点D，E分别在AC，AB上，且∠ADE = ∠B，∠A为公共角，∴∠AED = ∠ACB = 90°，∴△ADE是直角三角形。
(3)如图③,在$Rt△ABC$和$Rt△DBE$中, $∠C=90^{\circ },∠E=90^{\circ },AB⊥BD$,点C,B,E在同一直线上,$∠A$与$∠D$有什么关系？为什么？
∠A + ∠D = 90°。∵在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C = 90°，∠E = 90°，AB⊥BD，∴∠ABC + ∠A = ∠ABC + ∠DBE = ∠DBE + ∠D = 90°，∴∠A + ∠D = 90°。

答案：
(1)∠ACD = ∠B。
∵在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，
∴∠ACD + ∠A = ∠B + ∠A = 90°，
∴∠ACD = ∠B。
(2)△ADE是直角三角形。
∵在Rt△ABC中，∠C = 90°，点D，E分别在AC，AB上，且∠ADE = ∠B，∠A为公共角，
∴∠AED = ∠ACB = 90°，
∴△ADE是直角三角形。
(3)∠A + ∠D = 90°。
∵在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C = 90°，∠E = 90°，AB⊥BD，
∴∠ABC + ∠A = ∠ABC + ∠DBE = ∠DBE + ∠D = 90°，
∴∠A + ∠D = 90°。

3. 改编题 如图①,已知线段AB,CD相交于点 O,连接AC,BD,我们把形如这样的图形称为 “8字型”.
(1)求证:$∠A+∠C=∠B+∠D.$
证明：在题图①中，有∠A + ∠C = 180° - ∠AOC，∠B + ∠D = 180° - ∠BOD。∵∠AOC = ∠BOD，∴∠A + ∠C = ∠B + ∠D。
(2)如图②,求$∠B+∠C+∠D+∠E-∠A$的度数.
解：∵∠B + ∠C = ∠CGE = 180° - ∠1，∠D + ∠E = ∠DFG = 180° - ∠2，∴∠B + ∠C + ∠D + ∠E - ∠A = 360° - (∠1 + ∠2 + ∠A) = 180°。
(3)如图③,若$∠CAB$和$∠BDC$的平分线AP 和DP相交于点P,且与CD,AB分别相交于点M,N.
若$∠B=100^{\circ },∠C=120^{\circ }$,求$∠P$的度数.
解：以点M为交点的“8字型”中，有∠P + ∠CDP = ∠C + ∠CAP，以点N为交点的“8字型”中，有∠P + ∠BAP = ∠B + ∠BDP，∴2∠P + ∠BAP + ∠CDP = ∠B + ∠C + ∠CAP + ∠BDP。∵AP，DP分别平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP = ∠CAP，∠CDP = ∠BDP，∴2∠P = ∠B + ∠C。∵∠B = 100°，∠C = 120°，∴∠P = 1/2(∠B + ∠C) = 1/2 × (100° + 120°) = 110°。

答案：
(1)在题图①中，有∠A + ∠C = 180° - ∠AOC，∠B + ∠D = 180° - ∠BOD。
∵∠AOC = ∠BOD，
∴∠A + ∠C = ∠B + ∠D。
(2)
∵∠B + ∠C = ∠CGE = 180° - ∠1，∠D + ∠E = ∠DFG = 180° - ∠2，
∴∠B + ∠C + ∠D + ∠E - ∠A = 360° - (∠1 + ∠2 + ∠A) = 180°。
(3)以点M为交点的“8字型”中，有∠P + ∠CDP = ∠C + ∠CAP，以点N为交点的“8字型”中，有∠P + ∠BAP = ∠B + ∠BDP，
∴2∠P + ∠BAP + ∠CDP = ∠B + ∠C + ∠CAP + ∠BDP。
∵AP，DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP = ∠CAP，∠CDP = ∠BDP，
∴2∠P = ∠B + ∠C。
∵∠B = 100°，∠C = 120°，
∴∠P = 1/2(∠B + ∠C) = 1/2 × (100° + 120°) = 110°。

4. (1)如图①,求$∠A+∠B+∠C+∠D+∠E$的度数和;180°
(2)如图②,求$∠A+∠B+∠C+∠D+∠E$的度数和.180°

答案：
(1)如图①，连接BC。
∵∠D + ∠E + ∠1 = ∠3 + ∠4 + ∠2 = 180°，∠1 = ∠2，
∴∠D + ∠E = ∠3 + ∠4，
∴∠A + ∠ABE + ∠ACD + ∠D + ∠E = ∠A + ∠ABE + ∠ACD + ∠3 + ∠4 = ∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°。
(2)如图②，连接CE，则有∠A + ∠B = ∠AEC + ∠BCE，
∴∠A + ∠B + ∠DCB + ∠D + ∠DEA = 180°。