《2025年学霸题中题八年级数学上册人教版》

12.利用因式分解计算:
(1)$341^{2}-159^{2}$;
(2)$123456789^{2}-123456788 \times 123456790$.

答案：
(1)原式$=(341+159)×(341-159)=500×182=91000$。
(2)原式$=123456789^{2}-(123456789-1)×(123456789+1)=123456789^{2}-(123456789^{2}-1)=1$。

13.小美利用暑假时间绣了两幅正方形的“十字绣”,她想在“十字绣”的四边镶上金边,于是将一条长2.4m的金边剪成两段,恰好可以用来镶两幅“十字绣”的边,而这两幅“十字绣”的面积相差$1200 \mathrm{~cm}^{2}$,则这条金边应剪成多长的两段? (不考虑金边宽度)

答案： 设较大正方形“十字绣”的周长为$x$cm，则较小正方形“十字绣”的周长为$(240-x)$cm。根据题意，得$(\frac {x}{4})^{2}-(\frac {240-x}{4})^{2}=1200$，即$(\frac {x}{4}+\frac {240-x}{4})(\frac {x}{4}-\frac {240-x}{4})=1200$，解得$x=160$。$\therefore 240-160=80$(cm)。故这条金边应剪成长为160 cm和80 cm的两段。

14.(2025·荆州期末)小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:$a+b, a-b, x+y, a, x-y$,分别对应下列五个字:荆、州、我、爱、游.现将$a^{3} x-a b^{2} x+a^{3} y-a b^{2} y$因式分解,结果呈现的密码信息可能是 (C)
A.游荆州
B.我爱游
C.我爱荆州
D.我游荆州

答案： C 解析：$a^{3}x-ab^{2}x+a^{3}y-ab^{2}y=(a^{3}x+a^{3}y)-(ab^{2}x+ab^{2}y)=a^{3}(x+y)-ab^{2}(x+y)=(a^{3}-ab^{2})(x+y)=a(a^{2}-b^{2})(x+y)=a(a+b)(a-b)\cdot (x+y)=(x+y)a(a+b)(a-b)$，所以结果呈现的密码信息可能是我爱荆州。故选C。

15.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如:$4=2^{2}-0^{2}, 12=4^{2}-2^{2}, 20=6^{2}-4^{2}$,因此4,12,20都是“神秘数”.
(1)试分析28是否为“神秘数”.
$\because 28=64-36=8^{2}-6^{2}$，$\therefore 28$是“神秘数”。
(2)2022是“神秘数”吗? 为什么?
2022不是“神秘数”。设2022是由$y$和$y-2$两数的平方差得到的，则$y^{2}-(y-2)^{2}=2022$，解得$y=506.5$，不是偶数，$\therefore 2022$不是“神秘数”。
(3)说明两个连续偶数$2 k+2$和$2 k$(其中k取非负整数)构造的“神秘数”是4的倍数.
$(2k+2)^{2}-(2k)^{2}=(2k+2-2k)(2k+2+2k)=4(2k+1)$，$\therefore$由$2k+2$和$2k$构造的“神秘数”是4的倍数，且是奇数倍。
(4)设两个连续奇数为$2 k+1$和$2 k-1$,两个连续奇数的平方差(k取正整数)是“神秘数”吗? 为什么?
不是。$\because (2k+1)^{2}-(2k-1)^{2}=8k$，$8k$是8的倍数，即是4的偶数倍，而非4的奇数倍，$\therefore$由(3)可知，它不是“神秘数”。

答案：
(1)$\because 28=64-36=8^{2}-6^{2}$，$\therefore 28$是“神秘数”。
(2)2022不是“神秘数”。设2022是由$y$和$y-2$两数的平方差得到的，则$y^{2}-(y-2)^{2}=2022$，解得$y=506.5$，不是偶数，$\therefore 2022$不是“神秘数”。
(3)$(2k+2)^{2}-(2k)^{2}=(2k+2-2k)(2k+2+2k)=4(2k+1)$，$\therefore$由$2k+2$和$2k$构造的“神秘数”是4的倍数，且是奇数倍。
(4)不是。$\because (2k+1)^{2}-(2k-1)^{2}=8k$，$8k$是8的倍数，即是4的偶数倍，而非4的奇数倍，$\therefore$由
(3)可知，它不是“神秘数”。